alplicacion de las bases de Gröbner en el estudio de la teoria de eliminacion

Aplicación de las Bases de Gröbner en el Estudio de la
Teoría de Eliminación

Pedro Humberto Garzón Pérez
código 1134506
Pedro Julio Cupa García
código 1131503

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias de la Educación
Licenciatura en Matemáticas
Tunja
Enero de 2012

Aplicación de las Bases de Gröbner en el Estudio de la
Teoría de Eliminación

PedroHumberto Garzón Pérez
código 1134506
Pedro Julio Cupa García
código 1131503

Trabajo final para optar al título de
Licenciado en Matamáticas

Directora
Omaida Sepulveda
Magister en Matemáticas

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias de la Educación
Licenciatura en Matemáticas
Tunja
Enero de 2012

Nota de aceptación
Trabajo Final
Aprobado

JuradoHéctor Suárez

Director
Omaida Sepulveda
Tunja, Enero de 2012

Dedicado a

El fruto de este trabajo lo dedico a Dios por la sabiduría y fortaleza que me ha
dado durante todo este proceso, a mis padres Jesús Humberto Garzón Gíl y María
Otilia Pérez López, a mis hermanas Leidy Salima y Angelica Johana, a mi sobrina
María Camila ya que con su apoyo y colaboración se ha logrado alcanzaruna meta
anhelada.
Quiero dedicar este trabajo a Dios por la sabiduría y fortaleza que me ha dado
durante todo este proceso, a mis padres Jorge Alfonso Cupa Sosa y Rosalbina García
Jiménez, a mis hermanos Mauricio, Jorge, Luis, Francisco, a mis hermanas María,
Rosalba y Mercedes ya que con su apoyo y colaboración se ha logrado alcanzar una
meta anhelada.

Agradecimientos

Los autores deeste trabajo expresan sus agradecimientos:
A Dios por todas las cosas que nos ha puesto en el camino.
A Msc. Omaida Sepulveda Delgado por la paciencia y colaboración que nos prestó
durante todo éste proceso.
Al profesor Héctor Suárez por sus aportes en la revisión del texto.
A la Licenciatura en Matemáticas, a la Escuela de Matemáticas y Estadística ,
docentes, directivos y a nuestrosamigos (as) y compañerospor su colaboración.

Índice general

Índice general

I

Introducción

III

1. Preliminares

1

1.1. Teoría de Grupos y Teoría de Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2. Teoría de la Bases de Gröbner y Teoría de Eliminación

102.1. Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Teoría de Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Teorema de Eliminación y Teorema de Extensión

25

3.1. Paso de Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. La Geometría en la Eliminación . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Problema de Implicitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6. Factorización única . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7. Resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8. Teorema de extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. Aplicación de la Teoría de Eliminación en Problemas de Álgebra
Conmutativa
71

I

ÍNDICE GENERAL

II

5. Conclusiones

75Bibliografía

76

Introducción

En los últimos años se ha venido dando una transformación importante en el estudio
de los sistemas de ecuaciones polinomiales debido a la introducción de las Bases de
Gröbner en 1965 por Bruno Buchberger quien las nombró en honor a su asesor
Wolfgang Gröbner, al principio su importancia no fue plenamente comprendida,
como ocurrió con muchas de las teorías...