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´ TEMA 8 F. MATEMATICOS.

TEMA 8 Sistemas de Ecuaciones Lineales: M´todo de Gauss. e 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades
Uno de los problemas centrales del ´lgebra lineal es la resoluci´n de ecuaciones lineales simult´neas. a o a Definici´n 1 Un sistema de ecuaciones lineales, en concreto de m ecuaciones con n inc´gnitas, es un o o conjunto de m igualdades que se pueden escribiren la forma:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (1) . . . . . . . .  . . . .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Los n´meros aij ∈ R para i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n reciben el nombre de coeficientes y los u bi ∈ R para i = 1, 2, · · · , m, t´rminos independientes1 . Por ultimo, x1 , x2 , · · · , xn son las inc´gnitas e ´ o delsistema. En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homog´neo. e Definici´n 2 La matriz del sistema dado (o matriz ampliada) es el conjunto formado por los m × o (n + 1) n´meros que se obtiene al escribir los coeficientes y los t´rminos independientes, ordenadamente u e por filas y columnas, en la forma:   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2     . . ..  . . . .   . . . . am1 am2 ··· amn bm

Si quitamos la ultima columna de los t´rminos independientes, la matriz que nos queda recibe el ´ e nombre de matriz de los coeficientes del sistema. Al ser m´s c´modo trabajaremos solamente con la matriz del sistema, en lugar de hacerlo con todo a o el sistema, pues con ello simplificamos el proceso de resoluci´n. ´ o

2.

Soluci´n de un sistema deecuaciones. Sistemas equivalentes o

Definici´n 3 Diremos que un conjunto de n n´meros ordenados (α1 , α2 , , · · · , αn ) es una soluci´n del o u o sistema (1) si satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Definici´n 4 Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluo ciones.
1 En el caso de ser a e ij ∈ C, [1] puede transformarse en un sistema de coeficientes yt´rminos independientes reales con doble n´ mero de ecuaciones que el sistema inicial u

´ I.T.I. MECANICA Curso 2006/07

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Obs´rvese que no necesariamente han de tener el mismo n´mero de ecuaciones. e u Es f´cil comprobar que las siguientes transformaciones, que denominaremos elementales, efectuadas a sobre la matriz de un sistemanos conducen a otro sistema equivalente: 1. 2. 3. Fij : Intercambiar el orden de las filas i, j (equivale a cambiar el orden de dichas ecuaciones). Fi (α) : Multiplicar la fila i por el escalar α = 0 (equivalente a multiplicar la ecuaci´n i-´sima por o e el escalar α no nulo). Fij (α) : Sumar a la fila i la fila j multiplicada por el escalar α (equivalente a sumar a la ecuaci´n o i-´sima un m´ltiplode la ecuaci´n j-´sima). e u o e

Clasificaci´n de un sistema de ecuaciones lineales o
Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en: Compatibles: si tienen al menos una soluci´n. o Incompatibles: si no tienen soluci´n. o A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funci´n del n´mero de o u soluciones, en: Determinados: sitienen una unica soluci´n. ´ o Indeterminados: si tienen m´s de una, en cuyo caso tendr´n infinitas soluciones. a a Notemos que los sistemas homog´neos tienen siempre, al menos, la soluci´n (0, 0, · · · , 0) que recibe e o el nombre de soluci´n trivial, por ello siempre son compatibles. o

3.

M´todo de eliminaci´n de Gauss e o

Es un m´todo directo que nos da la soluci´n exacta, si existe, en unn´mero finito de pasos u operae o u ciones. Pretendemos resolver un sistema de ecuaciones lineales dado mediante su transformaci´n en otro o sistema equivalente que se resuelva f´cilmente. Dichos sistemas tienen una forma concreta. a Definici´n 5 Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz o del sistema verifica que: 1. 2. 3. Todos los elementos por debajo de...