alumno

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1

´
5. CURVAS PARAMETRICAS Y POLARES
´
5.1. CURVAS EN FORMA PARAMETRICA
5.1.1. Curvas en forma param´trica
e
Se dice que γ ⊂ Rn es una curva si existe una aplicaci´n continua α : [a, b] −→ Rn tal que α([a, b]) = γ.
o
La aplicaci´n α se llama parametrizaci´n de la curva.
o
o
α(b)
α(a)
α(t)
¨
¨¨ O

a

¢¢

¢

¢

• Origen de la curva: α(a)


 
 γ

• Extremo de la curva: α(b)

¢


• Sentido de la curva: el que va de α(a) a α(b).

t

b

Sea γ ⊂ Rn una curva parametrizada por α : [a, b] −→ Rn . Se dice que
• γ es una curva cerrada cuando el origen y el extremo coinciden, es decir, si α(a) = α(b).
• γ es una curva simple cuando la parametrizaci´n α es inyectiva en [a, b)y en (a, b], es decir, si
o
α(t1 ) = α(t2 ) cuando t1 = t2 con t1 , t2 ∈ [a, b) o con t1 , t2 ∈ (a, b].
La curva γ no es simple cuando existen puntos m´ ltiples, es decir, cuando existen t1 , t2 ∈ [a, b) o
u
t1 , t2 ∈ (a, b] tales que α(t1 ) = α(t2 ) con t1 = t2 . Intuitivamente, una curva no es simple cuando se corta
a s´ misma en un punto interior.
ı
La definici´n de curva se extiende demodo natural al caso en que el intervalo de definici´n no es cerrado
o
o
o acotado. En estos casos puede ocurrir que el origen y/o extremo no se alcancen.

5.1.2. Algunas parametrizaciones de curvas
1. El segmento que va de P (x1 , y1 , z1 ) a Q(x2 , y2 , z2 ) es una curva en R3 parametrizada por:
α : [0, 1] −→ R3
t

−→ α(t) = (x1 + t(x2 − x1 ), y1 + t(y2 − y1 ), z1 + t(z2 − z1 ))

2.Una circunferencia en el plano es una curva cerrada. Dos parametrizaciones de la circunferencia de
centro (a, b) y radio r recorrida en sentido positivo (contrario a las agujas de reloj) son:
α : [0, 2π] −→ R2
t

β : [0, 1] −→ R2

−→ α(t) = (a + r cos t, b + r sin t)

t

−→ β(t) = (a + r cos 2πt, b + r sin 2πt)

y otra que la recorre en sentido negativo es:
ϕ(t) = (a + r cos t, b − rsin t) , 0 ≤ t ≤ 2π
3. Una elipse en el plano es una curva cerrada. Una parametrizaci´n de la elipse
o
recorrida en sentido positivo es:

(x−x0 )2
a2

2

+ (y−y0 ) = 1
b2

α(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π
4. El grafo de una funci´n continua f : [a, b] −→ R es una curva parametrizada, por ejemplo, por la
o
aplicaci´n:
o
α : [a, b] −→ R2
t

−→ α(t) = (t, f (t))´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

2

5.1.3. Curva contraria
Si γ ⊂ Rn es una curva parametrizada por α : [a, b] −→ Rn , se llama curva contraria a la misma curva
recorrida en sentido contrario. Se suele representar por −γ, y una parametrizaci´n suya es
o
β : [−b, −a] −→ R2
t

−→ β(t) = α(−t)

5.1.4. Curvas suaves
Una curva γ ⊂ Rn se dicecurva suave si admite una
parametrizaci´n α(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)), a ≤ t ≤ b,
o
derivable, siendo el vector velocidad o vector tangente:
α (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t))

α(b)
α(a)
¨
¨¨ O

y la velocidad:
|α (t)| =

x1 (t)2 + x2 (t)2 + . . . + xn (t)2

a

¢

t

¢

¢

¢


 
 γ
α(t)
€€
€€

¢
€ α (t)
q

b

La recta tangente a la curvasuave γ en el punto α(t0 ) es, en forma vectorial y param´trica:
e

x1 = x1 (t0 ) + tx1 (t0 )



x2 = x2 (t0 ) + tx (t0 )
2
(x1 , x2 , . . . , xn ) = α(t0 ) + tα (t0 )
.
.
 .




xn = xn (t0 ) + txn (t0 )
y en forma cartesiana (cuando ninguna derivada se anula):
x1 − x1 (t0 )
x2 − x2 (t0 )
xn − xn (t0 )
=
= ... =
x1 (t0 )
x2 (t0 )
xn (t0 )
En el caso particularde curvas planas la parametrizaci´n se suele expresar por α(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b],
o
y la recta tangente en el punto α(t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )) es
(x(t), y(t)) = (x(t0 ), y(t0 )) + t(x (t0 ), y (t0 ))
x − x(t0 )
y − y(t0 )
=
x (t0 )
y (t0 )

x = x(t0 ) + tx (t0 )
y = y(t0 ) + ty (t0 )

(si x (t0 ) = 0 e y (t0 ) = 0)

En este caso, son tambi´n de inter´s los puntos en los...