alumno

NOCIONES SOBRE
´
ALGEBRA
DE BOOLE

1. Definici´on y propiedades generales
2. Funciones booleanas en el ´algebra de Boole binaria
3. Simplificaci´on de funciones booleanas
4. El m´etodo de simplificaci´on de Quine-McCluskey

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1. Definici´
on y propiedades generales
El ´algebra de Boole es una estructura matem´atica que, como tal, abarca un
abanico de situaciones cuya componentecom´
un es la que se formula en su
definici´on.
En particular, el ´algebra de Boole tiene aplicaci´on en la s´ıntesis de redes de
conmutaci´on, en el estudio de circuitos digitales y en el an´alisis y programaci´on mediante ordenador.
Definici´
on de ´
algebra de Boole
Un conjunto B dotado de dos leyes de composici´on interna (suma y producto)
tiene estructura de ´algebra de Boole si severifican las propiedades siguientes.
(1) Las dos leyes son asociativas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a b) c = a (b c)

∀ a, b, c ∈ B

(2) Las dos leyes son conmutativas.
a+b=b+a
ab = ba

∀ a, b ∈ B

(3) Cada ley tiene elemento neutro.
∃0 ∈ B/ a + 0 = a
∃1 ∈ B/ a1 = a

∀a ∈ B
∀a ∈ B

(4) Para cada elemento a ∈ B existe un u
´nico elemento a ∈ B, llamado
complementario de a, talque
a+a=1
aa = 0
(5) Cada ley es distributiva respecto a la otra.
a (b + c) = a b + a c
a + (b c) = (a + b) (a + c)
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∀ a, b, c ∈ B

Estos cinco pares de propiedades se consideran propiedades primitivas que
caracterizan la estructura de ´algebra de Boole. Tambi´en reciben el nombre
de axiomas del ´algebra de Boole. El resto de propiedades se deduce a partir
de ´estas.
Ejemplos de ´algebras de Boole
(1) Consideremos un conjunto U al que nos referiremos como universo.
Llamamos conjunto de las partes del conjunto U al conjunto formado
por todos los subconjuntos del conjunto U ; lo denotamos por P(U ).
Si el n´
umero de elementos de U es card U = n entonces card P(U ) = 2n .
Todo conjunto P(U ) con las operaciones uni´on de conjuntos, ∪, e intersecci´on de conjuntos, ∩,tiene estructura de ´algebra de Boole.
El elemento neutro de la uni´on de conjuntos es el conjunto vac´ıo, ∅,
mientras que el neutro de la intersecci´on es el conjunto universo U .
El elemento complementario de cualquier subconjunto A ∈ P(U ) es el
complementario en el sentido de conjuntos:
A = {x ∈ U /x ∈ A}
(2) Una proposici´on l´ogica es un enunciado declarativo que puede ser verdadero ofalso, pero no ambas cosas a la vez. El conjunto de las proposiciones l´ogicas con las operaciones disyunci´on (o, ∨) y conjunci´on (y, ∧)
tiene estructura de ´algebra de Boole.
(3) El ´algebra de Boole binaria, formada u
´nicamente por dos elementos:
B = { 0, 1 }
Principio de dualidad del ´
algebra de Boole
Toda propiedad que pueda deducirse de las propiedades primitivas o de
cualquierotra propiedad derivada de ´estas da lugar a otra propiedad que
se obtiene intercambiando:
- las operaciones suma y producto,
- los s´ımbolos 0 y 1.
La propiedad as´ı obtenida recibe el nombre de propiedad dual de la inicial.
El principio de dualidad es consecuencia de la propia estructura de ´algbra de
Boole, ya que cada par de propiedades en su definici´on est´a formada por una
y por sudual.
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Propiedades en un ´
algebra de Boole
Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades primitivas.
(1) Involuci´on.

x = x,

(2) Idempotencia.
(3) x 0 = 0,

x + x = x,

x + 1 = 1,

(4) Absorci´on.

∀ x ∈ B.
x x = x,

∀ x ∈ B.

∀ x ∈ B.

x + xy = x
x (x + y) = x

∀ x, y ∈ B.

(5) Los neutros son rec´ıprocamente complemetarios.
(6) x + x y = x + y,x (x + y) = x y,

(7) Leyes de De Morgan.

0 = 1,

1 = 0.

∀ x, y ∈ B.

(1a Ley)

x + y = xy

(2a Ley)

xy = x + y

∀ x, y ∈ B.

Demostraci´
on
(1) Basta comprobar que x hace el papel de complemetario de x.
x+x=x+x=1

∧

xx = xx = 0

Las dos primeras igualdades se deducen de las respectivas conmutativas y las
dos segundas de la propiedad del complemetario. En...