Alumno

METODO DE VILLARREAL
Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "m":
y elevémoslo a la n-ésima potencia, es de esperarse que el resultado sea otropolinomio completo y ordenado dependiente de "x" y de grado "mn":
En resumidas cuentas:
Donde y
Procedamos a obtener los coeficientes :,......,,,y usando el método de Leibnitz (método de loscoeficientes indeterminados).
Hagamos: .....(2) y
......(3)
Entonces la ecuación (1) podemos escribirla de la siguiente manera:
.....(4)
Tomando derivadas a la ecuación (4):
.....(5)
Y multiplicándola por:
......(6)
Pero de (4) la ecuación (6) también puede escribirse como:
.....(7)
De acuerdo a la ecuación (7) es necesario que derivemos y entonces de (2) y (3)
Respectivamente:
.....(8).....(9)

Vayamos por partes efectuando primeramente para esto multipliquemos (3) y (8), que por comodidad vamos a iniciarlo desde los primeros términos de y , luego a este resultado le multiplicamos ""entonces tendremos:
Luego: ..... (10)

Análogamente efectuemos siguiendo las mismas indicaciones que la multiplicación anterior obteniéndose:
Luego:

......(11)
De la ecuación (7) : (10) y (11)son iguales, ahora bien de acuerdo al método de los coeficientes indeterminados para que esta igualdad se verifique cualquiera que sea el valor de "x" es necesario que en ambos miembros loscoeficientes sean idénticos y de una misma potencia de "x", entonces por comparación:

Despejando:
....(12)

Despejando:
....(13)

Despejando:
....(14)

Despejando:
: ..... (15)
Y asísucesivamente:

.....(16)
Despejando:

.......(16)
Y continúa..................pero nosotros hasta aquí nos quedamos.
Las expresiones (12) , (13), (14), (15) y (16) son los coeficientes del polinomio y porinducción matemática lo podemos escribir de manera más general así:
.....(17)
Siendo: y
Esta Fórmula nos permite calcular con mucha facilidad los coeficientes del polinomioa quién se le...