Alvaro Obregon

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de Ingeniería Civil

Ecuaciones Diferenciales

“Uso de Autómatas Celulares para modelos de Dispersión”

Medina Torres Tiberio Cesar
Matricula: 1609513

7 de Diciembre de 2012
Un autómata celular (A.C.) es un modelo matemático para un sistema dinámico, compuesto por un conjunto de celdas o células que adquieren distintos estados o valores.Estos estados son alterados de un instante a otro en unidades de tiempo discreto, es decir, que se puede cuántica con valores enteros a intervalos regulares. De esta manera este conjunto de células logran una evolución según una determinada expresión matemática, que es sensible a los estados de las células vecinas, la cual se le conoce como regla de transición local. El aspecto que más caracterizaa los AC es su capacidad de lograr una serie de propiedades que surgen de la propia dinámica local a través del paso del tiempo y no desde un inicio, aplicándose a todo el sistema en general.
Por lo tanto no es fácil analizar las propiedades globales de un AC desde su comienzo, complejo por naturaleza, a no ser por vía de la simulación, partiendo de un estado o congelación inicial de células ycambiando en cada instante los estados de todas ellas de forma síncrona.
Las características de los autómatas celulares harán que dichos modelos sean discretos en tiempo, espacio o ambos (dependiendo de la variante de la definición de A.C. que se use). Algunos ejemplos de áreas en donde se utilizan los autómatas celulares son:
* Modelado del flujo de tráfico y de peatones.
* Modelado defluidos (gases o líquidos).
* Modelado de la evolución de células o virus como el VIH.
* Modelado de procesos de percolación.


La Epidemiología es definida como el estudio de la distribución y factores determinantes de la salud pública, así como su aplicación en la prevención y control de problemas de salud en una población. Los eventos epidemiológicos provocados por un virus nuevo comoel H1N1 y las nuevas variedades de bioterrorismo pueden provocar grandes pérdidas humanas y económicas. Es prioritario el estudio y la simulación de la dispersión de patógenos en una población

En la figura podemos apreciar los factores que propician la distribución de un agente patógeno en una población a través del tiempo y el medio ambiente.
En ésta, la interacción del medio ambiente y elanfitrión (individuos de la población) son provocados por un comportamiento demográfico, geográfico o social.
La modelación de eventos epidemiológicos puede ser tratada desde el punto de vista matemático como variantes del modelo SIR (Susceptibles, Infectados y Recuperados). En este modelo se categorizan los diferentes grupos en la población, de acuerdo a su estado durante un brote epidémico.Este tipo de modelos puede ser simulado en sistemas de ecuaciones diferenciales o por cadenas ocultas de Markov. A continuación se describe el sistema de ecuaciones para el modelo SEIRS (Susceptible, Expuesto, Infectado, Recuperado y Susceptible) y se explica en qué consiste:

Dadas las cuatro fases de la enfermedad (a, b, c, d), se indican aquéllas por las cuales transitarán los individuosdurante la enfermedad infecciosa. Definición. β es la transmisibilidad de la enfermedad. S, E, I, R son los estados por los cuales pasan los individuos de la población. Ρ, σ, γ representan los periodos que los individuos deben permanecer en el estado correspondiente.
Desde el punto de vista computacional, los Autómatas Celulares (AC) están siendo ampliamente utilizados gracias a su facilidad pararepresentar sistemas de reglas naturales en pasos discretos y a su capacidad para representar la interacción entre individuos a través de su vecindario con los individuos circundantes. Esto convierte a los AC en una opción para las simulaciones del método de Montecarlo, en la que el uso de un ambiente estocástico puede simular el comportamiento de la naturaleza y así experimentar con distintas...