AM C Hoja1 1

´ DE MATEMATICAS
´
AMPLIACION
Convergencia de sucesiones y series de funciones.
1.- Se consideran las siguientes sucesiones de funciones:
fn (x) = xn , x ∈ [0,1] y fn (x) = (cos πx)2n .
Se pide:
1) Representar f1 (x), f2 (x) y f3 (x).
2) Estudiar la convergencia puntual y uniforme de cada sucesi´on de funciones.
2.-Estudia la convergencia puntual y uniforme en el intervalo [0, 1] de las sucesiones de
funciones:
fn (x) =

x
1 + nx

y gn (x) =

1
.
1 + nx

3.- Estudia laconvergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:

x
si 0 ≤ x ≤ n1

1 − xn
a)fn (x) =
b)fn (x) =
si 1 ≤ x < ∞
n
 −x
1
+
x
1
1
+ n−1 si n ≤x ≤ 1
n−1
c)fn (x) = x − xn six ∈ [0, 1]

d)fn (x) = (1 − x)n si 0 ≤ x ≤ 1.

4.- a) Sea fn (x) = xe−nx , x ≥ 0. Prueba que esta sucesi´on converge uniformente en[0, ∞).
sen nx
, x ≥ 0. Prueba que para todo a > 0 la sucesi´on anterior converge
b) Sea fn (x) =
1 + nx
uniformemente en [a, ∞), pero no as´ı en [0, ∞).
nx
, x≥ 0. Prueba que para todo a > 0 la sucesi´on anterior converge uniformec)fn (x) =
1 + nx
mente en [a, ∞), pero no as´ı en [0, a].
5.- Prueba que la sucesi´on defunciones

xn
1+xn

no converge uniformemente en el intervalo [0, 2].
2

6.- Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesi´on de funciones fn (x) = n2xe−nx
en el intervalo [0, 1].
1

7.- Determina l´ım

n→∞

0

nex
dx.
n+x

8.- Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes:∞
∞
∞
sen2 nx
x2
a)
xn con x ∈ [0, 1]
b)
c)
n2
x2 + 1
n=0
n=1
n=1
9.- Escribe en forma de serie las siguientes integrales:
a
1

sen t
dt
t

a

y
1

2

e−x
dx
x