AM C Hoja3

´ DE MATEMATICAS
´
AMPLIACION
E.D.O. lineales de primer orden
1.- Halla la curva que pasa por el punto (0, 2) y cuya tangente en cualquier de sus puntos
tiene pendiente igual a la ordenada del puntoaumentada en tres unidades.
2.- DESCENSO DEL PARACAIDISTA. Admitiendo que la resistencia que el aire opone a un
paracaidista es funci´on exclusiva de la velocidad v; y teniendo en cuenta que unaaproximaci´on
razonable de dicha fuerza de rozamiento es Kv 2 , donde K es una constante, halla la ley que regula
el descenso del paracaidista. (Indicaci´
on: la Segunda Ley de Newton asegura que laresultante
(o suma) de las fuerzas de un sistema es igual al producto de la masa por la aceleraci´on del
→
−
−
mismo; F (t) = m→
x (t) ).
3.- Un gamberro di´o una patada a un cochecito de ni˜
no que estabaparado en una acera a
5m de la calzada. El cochecito sali´o disparado hacia la calzada con una velocidad de 2m/sg. en
defensa del cr´ıo sali´o una fuerza de rozamiento igual a -Km donde K = 1/3 y m esla masa del
cochecito. Sabiendo que en la calzada hab´ıa un intenso tr´afico ¿se salvo el ni˜
no? ¿Por qu´e la
situaci´on que plantea el problema no es real?
4.- La presencia de cierta toxina en uncierto medio destruye una variadad de bacterias a
una velocidad que es directamente proporcional al producto del n´
umero de bacterias presentes
y a la cantidad de toxina. Si no hubiese presencia detoxina, las bacterias podr´ıan crecer a una
velocidad proporcional al n´
umero de ellas en cada momento. Se supone que la cantidad de toxina
se incrementa de forma constante y que la producci´on toxinaenpezo en el momento inicial. Si
y(t) denota el n´
umero de bacterias en cada instante t,
a) encuentra la ecuaci´on diferenial de primer orden para la cu´al y(t) es una soluci´on.
b) resuelve laecuaci´on. ¿ Qu´e sucede cuando t → ∞ ?
5.-VARIABLES SEPARADAS. a) Integra las ecuaciones:
dy
dy
= xy
2) dx
= y − y2
3) dx
= y 2 senx
1)
4) (1 + et )x(t)x (t) = et
5) y = 2y 2 − 2y
b) Resuelve los...