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“TANGENTES, VELOCIDADES Y OTRAS RAZONES DE CAMBIO”

Tangentes:
Si una curva tiene la ecuación y=f(x) y se quiere hallar la tangente a esta curva en un punto P(a,f(a)) cualquiera de la curva, entonces se considera un punto Q=(x,f(x)) cercano a este y calculamos la pendiente de la recta secante.
m_PQ=(f(x)-f(a))/(x-a)

Se acerca Q tanto a P a lo largo de la curva haciendo que x tienda a a.Si m_PQ tiende a un número m, entonces se dice que la recta tangente es la posicion límite de la recta secante PQ con m.


Se puede referir a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como: la pendiente de la curva en este punto.
Otra expresión útil, seria expresar x como x=a+h de modo que la pendiente de la recta secante sería:

Velocidades:
Imagine que un objeto semueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con la ecuación s=f(x) donde s es el desplazamiento del objeto con respecto del origen en el instante t. La función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo t=a hasta T=a+h, el cambio en la posición es f(a+h)-f(a). La velocidad promedio en este período es:
Velocidad promedio=(desplazamiento)/tiempo=(f(a+h)-f(a))/h
(esto es lo mismo que la pendiente de la recta secante).
Suponga que ahora calculamos las velocidades promedio sobre lapsos [a, a+h] más y más cortos. En otras palabras, hacemos que h tienda a 0. Definimos la velocidad instantánea v(a) en el instante t=a como el límite de estas velocidades promedio:
v(a)=lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗
Esto significa que la velocidad en elinstante t=a es igual a la pendiente de la recta tangente en P.
Otras razones de cambio:
Suponga que y es una función de x y escribimos la ecuación y=f(x). Si cambia x_1 a x_2, entonces el cambio en x también conocido como incremento de x es:
∆x=x_2-x_1
Y el cambio en y es:
∆y=f(x_2)-f(x_1)
El cociente de diferencias
∆y/∆x=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1 )
A lo que se le llama razón de cambio de y conrespecto a x sobre el intervalo [x_1,x_2] y es igual a la pendiente de la recta secante PQ.
Al hacer que x tienda a 0, el límite de estas razones promedio de cambio se llama razón(instantánea) de cambio y con respecto a x en x=x. Lo cual se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x)en P(x_1,f(x_1 )).
razón instantánea de cambio=lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗=lim┬(x_2→x_1)⁡〖(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1 )〗 .

PROBLEMA DE APLICACIÓN # 1
Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas. Cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado por dicha onda?
Se pide calcular larapidez (velocidad) a la que está aumentando el área de un círculo, cuando su radio mide 3 m y la longitud de éste aumenta a razón de 0.5 m/s. Es decir, si consideramos un círculo que (en cierto instante t) tiene un radio r.t/ y un área A.t/, entonces lo que se desea es calcular la velocidad con que cambia (razón de cambio) el área A.t/, cuando el radio r.t/ es de 3 m y la razón de cambio del radioes de 0.5 m/s. Esto es, se pide calcular la derivada dA/dt cuando r= 3 y cuando dr/dt= 0.5.

El área del círculo es A D r 2 . La razón de cambio de A con respecto al tiempo t se obtiene derivando ambos miembros con respecto al tiempo:
dA/dt=(d[πr^2 (t)])/dt=2πr(t)(dr/dt)
En el caso particular en que r(t)= 3 m y dr/dt= 0.5 m⁄s:
dA/dt=2πr(t)(dr/dt)=2π(3m)(0.5m/s)=(3πm^2)/s→dA/dt=(3πm^2)/s≈9.4248m^2/s
Esto es, en el preciso instante en que el radio es de 3 m, éste tiene un cambio de 0.5 m/s y el área tiene un cambio de (3m^2)/s≈(9.4248m^2)/s.

PROBLEMA DE APLICACIÓN # 2
Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio...