AMIcap8

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Series de potencias
y funciones elementales

Contenidos

Competencias

8.1. Series de potencias

◮

Saber calcular el radio de convergencia de una serie de potencias y conocer su significado.

◮

Saber aplicar técnicas formales
manipulativas con series y el
teorema de Abel para calcular
sumas de series.

◮

Conocer que las funciones elementales: exponencial, logaritmo, seno, coseno, arcotangente... son series de potencias. Y
sacar partido de este hecho.

◮

Conocer la medida analítica de
ángulos usando las funciones
trigonométricas.

◮

Capacidad de entender la demostración analítica del teorema fundamental del Álgebra.

8.2. Funciones elementales
8.3. El teorema fundamental del
Álgebra
8.4. Ejercicios

279

280

Series de potencias y funciones elementales

A lo largo de los capítulosanteriores se han utilizado las funciones elementales
a través de sus propiedades. Progresivamente se han introducido rigurosamente
todas ellas, con la excepción de las funciones seno y coseno. En la última lección
del curso le llega el turno a éstas.
El concepto de serie de potencias y de función expresable mediante serie de
potencias es el colofón de la asignatura y una ocasión para poner enacción buena
parte de los instrumentos que han ido apareciendo a lo largo del curso. Además
constituye por sí mismo una noción importante que será estudiada con mayor
profundidad en cursos superiores.
Para el objetivo que nos hemos marcado es innecesario realizar un estudio de
las sucesiones y de las series de funciones y de la noción de convergencia uniforme,
un concepto difícil para losestudiantes de primer curso en contextos generales. Nos
basta con limitarnos a series de potencias. En ese caso todo es más fácil, incluso
la convergencia uniforme (el criterio de Weierstrass de convergencia uniforme es
todo lo que se necesita) que da soporte a los teoremas de permiten considerar los
polinomios infinitos formalmente como si de polinomios finitos se tratase en cuanto
a continuidad,derivabilidad e integrabilidad de la suma. Ello permite presentar
las funciones elementales (seno y coseno, en particular) y la noción de longitud de
arco (ángulo) desde un punto de vista analítico.

8.1.

Series de potencias

En lo que sigue se considera que el cuerpo de escalares es indistintamente R o
C que denotaremos con K.
Definición 8.1.1 Una serie de potencias en torno a z0 ∈ K es una expresióndel
tipo
∞

n=0

an (z − z0 )n

donde (an )n∈N es una sucesión dada en K y z ∈ K.

Para cada valor de z se tiene una serie numérica en K que puede o no ser convergente. Es claro que para z = z0 siempre lo es, y dependiendo de cual sea la sucesión
(an )n puede que no haya otro valor diferente de z para el que la serie converja.
n
El análisis de la convergencia absoluta de la serie ∞
n=0 an (z − x0 )puede realizarse con ayuda del criterio de la raíz 7.2.7 (o también del cociente) obteniéndose
que si
l´ım sup n |an ||z − z0 | = |z − z0 | l´ım sup n |an | < 1

la serie converge absolutamente. O dicho de otra manera, la serie converge absolutamente para todos los z que verifiquen
|z − z0 | <

1
l´ım sup
280

n

|an |

.

8.1 Series de potencias

281

Lo cual motiva el concepto de disco deconvergencia introducido a continuación.
Definición 8.1.2 El valor
1

R :=

l´ım sup

n

|an |

se llama el radio de convergencia de la serie dada, entendiendo que cuando se
tenga l´ım supn n |an | = 0 se toma R = ∞, mientras que si l´ım supn n |an | = ∞ se
toma R = 0. La bola abierta con centro z0 y radio R recibe el nombre de disco de
convergencia.
Para los valores z que satisfacen l´ım sup n |an ||z− z0 | > 1 el término general de
n
la serie ∞
n=0 an (z − z0 ) no tiene límite cero (ya que para un conjunto infinito de
valores de n se tiene n |an ||z − z0 | > 1) y por tanto la serie no converge. Así pues
n
la serie ∞
n=0 an (z − z0 ) converge absolutamente si |z − z0 | < R y no converge si
|z − z0 | > R. En el borde del disco de convergencia, es decir cuando |z − z0 | = R,
puede suceder que...