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a Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a+bi es la expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en formabinomial como:
z = a + bi \,
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)b =\hbox{Im}(z)=\Im(z)
Representación polar[editar]





El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; r(\cos \phi + i \sin \phi) o r e^{i\phi} es la expresión polar del punto.
Enesta representación, \textstyle{r} es el módulo del número complejo y el ángulo \textstyle{\phi} es el argumento del número complejo.
\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) = -\arctan \left ( -\frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) \cos \phi = \frac{a}{r} \ , \ \sin \phi = \frac{b}{r}
Despejamos a y b en las expresionesanteriores y, utilizando la representación binomial:
z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}
Sacamos factor común r:
z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricascoseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representaciónbinomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:
\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} =e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}
No obstante, el ángulo \phi no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano,...