Amii Coloquio 3 7 14 Plaza Corregido

Coloquio 3/7/2104
1 a) Use el teorema de Green para calcular el volumen bajo el paraboloide

x2 y2
z  4

; z  0 por medio de una integral de línea.
2
2
b) Calcular el volumen.
Solución: a) Para poder aplicar el teorema de Green en el plano hay que pensar que el
volumen bajo el paraboloide está dado por:
 4( x  y ) 

x2 y2 
Vol :  dx dy dz    2 2 dz dx dy   4  (  ) dxdy , considerando esta
2
2 
0
V
D 
D 

2

2

integral doble, hay que buscar un campo vectorial

F : R 2  R 2 / F ( x, y)  P( x, y) , Q( x, y) de clase C1 tal que

Q P
x2 y2

 4  (  ) siendo D la región que se obtiene proyectando el paraboloide en
x y
2
2
el plano z  0 , cuya curva frontera es una curva cerrada simple, en este caso la proyección
x2 y2
sobre el plano xy es laregión D :

 4  x 2  y 2  8 cuya frontera es la
2
2
2
2
circunferencia x  y  8 , es decir una curva de Jordan (cerrada y simple).
Elegimos un campo vectorial que cumpla

Q P
x2 y2
x2 y2
y2 x2
, por ejemplo

 4(  )  4

 4

x y
2
2
2
2
2
2
  x2 

y2  

  entonces por teorema de Green:
F ( x, y)   y  , x  4 

2
2

 
  

Q P
x2 y2
 F . dl  D ( x  y )dx dy  D (4  2  2 ) dx dy  Volumen pedido
C

b) El volumen, usando coordenadas cilíndricas está dado por:
r
 4( x  y ) 
2
8 4
2
2
Vol :  dx dy dz    
dz dx dy     2 r dz dr d 
0
0
0
0

V
D 

2



2

0



0

8

r3
(4r  ) dr d 
2

2

2

2

2

 
0

0

8

r2
(4  ) r dr d 
2

r4 8
0 (2r  8 ) 0 d  (16  8) 2  16 unidades de vol.
2

2- Considere lafunción z  f ( x, y) definida por:

1 2
2
2 (x  y )
f ( x, y )  
4  x 2  y 2


si
si

x2  y2  4
4  x 2  y 2  16

a) Hallar los conjuntos de nivel k de f ( x, y) con k = 4, k = 2, k = 1.
b) Calcular el volumen bajo la superficie z  f ( x, y), z  0 .
Solución:
a) Conjunto de nivel 4   ( el plano z  4 no interseca la gráfica de ninguna de las 2
superficies).
Para k = 2:
1
2  (x2  y2 )  x2  y 2  4
2

2  4  x2  y2  x2  y2  4
El Conjunto de nivel es

2

1 2
(x  y 2 )
2

 x2  y2  4

2  4  x2  y2  x2  y2  4
Para k = 1 :

1

1 2
(x  y 2 )
2

 x2  y2  2

1  4  x2  y2  x2  y2  9

b) El volumen es la suma del volumen bajo el paraboloide más el volumen bajo el
cono.

2

Volumen =

2

2

0

0

1 2
r
2
0

  

dz r dr d 

2

4

4 r

0

2

0

 

dz r dr d 

44

3

4

3- Un triángulo en R3 tiene vértices A, B, C . El campo vectorial F : R 3  R 3 tiene
integral independiente del camino. Se sabe que
1 2
2
ABF . dl  2(a  b) y AC F . dl   2 b  a  ab
Hallar los valores de a y b para que

 ( a , b)  R .

 F . dl sea máxima.
BC

Solución:
El campo vectorial F : R 3  R 3 es un campo conservativo, entonces   F  0 , por lo
tantosi se aplica el teorema del rotor, la circulación a lo largo de un curva cerrada recorrida
en sentido positivo es nula, planteamos esto
B

 F . dl   F . dl   F . dl  0
AB

C

BC

2(a 2  b) 

CA

1

 F . dl  ( 2 b

2

 a  ab)  0

BC

1

 F . dl   2 b

2

 a  ab  2(a 2  b)  h(a, b)

BC

A

h
 1  b  4a  0
 b  4a  1
a
h
 b  a  2  0 reemplazando b en esta ec. :
b1
7
a
; b
3
3

7
 1
Para determinar si para los valores (a, b)    ;   hay un máximo, se analiza el
3
 3
determinante Hessiano en este punto:
1
7 4
 1
H  ;  
30 
1 1
3
 3

2h
 4  0
a 2

Como el Hessiano es mayor que 0 y la derivada segunda es negativa, para los valores de
7
 1
(a, b)    ;   la circulación  F . dl es máxima.
3
 3
BC





4- Sea D  ( x, y,z)  R 3 : x 2  y 2  z 2  1 . Encuentre un campo vectorial
F : R 3  R 3 de modo que el flujo de dicho campo a través de la superficie que limita la

región D coincida con la masa de D, si la densidad en cada punto es  ( x, y, z)  y 2  z 2
Solución:
La masa del sólido definido por D  ( x, y, z)  R 3 : x 2  y 2  z 2  1 está dada por:





Masa    ( x, y, z ) dx dy dz   (...