Amilasa salival

Problema 1.3 - 21 Ecuaciones Diferenciales Dennis Zill sexta edición

Suponga que se perfora un agujero por el centro de la tierra y quepor él se deja caer una esfera de masa m, como se muestra en la figura. Formule un modelo matemático que describa el movimiento de la esfera.Sea r la distancia del centro de la Tierra a la masa, al tiempo t, y M la masa de la Tierra. Sea Mr la masa de la parte de la tierra que estádentro de una esfera de radio r y sea δ la densidad constante de la Tierra.

Solución:

De acuerdo con la ley de Newton de lagravitación universal, la aceleración a de caída libre de un cuerpo no es la constante g. Mas bien, esa aceleración a, es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia r al centro de la Tierra, a = [pic], donde k es la constante de proporcionalidad. Esta expresión es negativa porquela constante de gravitación actúa en sentido opuesto a la caída del cuerpo por lo tanto se tiene:
a = - [pic].
[pic]Donde [pic]es la masa dela esfera m multiplicada por la masa de la esfera que se forma a partir del radio r, Mr.
[pic]
Reemplazando los valores de a y de [pic] setiene:
[pic]
Por la definición de volumen de una esfera se tiene que:
[pic] Masa de la esfera de radio r.
[pic] Masa de la Tierra.Si tenemos que [pic]
Reemplazamos Mr en la ecuación inicial de F.
[pic]

Ahora F = m.a = [pic] entonces:
[pic] [pic] O [pic] [pic]