AMOR

Continuidad
Si una función y=f(x) pude representarse en todo su dominio mediante un trazo continuo decimos que dicha función es continua. Es decir, si puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz dicha función es continua. Veamos a continuación la gráfica de una función continua:

Cuando esto no ocurre, es decir, cuando tenemos que levantar el lápiz en algún momento a la horade trazar la gráfica de la función, se dice que la función es discontinua. Puede ocurrir que una función sea discontinua en su dominio para determinados puntos. Observa el siguiente ejemplo:

Fíjate en los puntos que no tienen relleno. Esa es la forma de representar que la función no tiene dibujo exactamente ahí, o dicho matemáticamente, la función no existe o no está definida en ese punto.Así, la función del ejemplo no está definida para x=-4, x=2 y x=6. Por tanto, para dichas abscisas la función es discontinua, levantaríamos el lápiz a la hora de dibujar la gráfica justamente para dichos valores de la x.
Puede ocurrir que la función sí exista o esté definida en un punto pero sea discontinua en el mismo, observa el siguiente ejemplo:

Cuando dibujo la función empezando por laizquierda, realizo un trazo continuo hasta llegar a x=0. Tengo que pegar un salto con el lápiz para seguir dibujándola, por lo tanto la función es discontinua en x=0. Pero observa que en x=0, en el trazo que empieza a la altura y=1, el punto está relleno, así que la función sí tiene dibujo o existe para x=0. Lo que nunca podría ocurrir es que los dos puntos se dibujaran rellenos, pues eso significaríaque dicha gráfica no correspondería a una función, ya que a una misma x le corresponderían dos coordenadas y diferentes, lo que sabemos que va en contra de la definición de una función. Este tipo de discontinuidad se suele denominar "de salto".
Puede ocurrir que el salto sea infinito. Observa el siguiente ejemplo:

En esta función, para x=-2 vemos que cuando la función se acerca por la izquierdase dispara creciendo indefinidamente y muy rápido. Cuando nos acercamos a x=-2 por la derecha ocurre lo mismo, pero con la función disparándose hacia abajo, decreciendo indefinidamente y muy rápido. Parece que a la función "se le va la pinza" para esa abscisa. En cursos posteriores verás que la razón es que en x=-2 hay una asíntota. Pero no te preocupes, por ahora vamos a decir que en x=-2 hay"ramas infinitas" y que la función "se dispara hacia el infinito por la izquierda y hacia el menos infinito por la derecha en x=-2" . Además diremos que en x=-2 hay una discontinuidad de "salto infinito", mientras que la función presenta en x=0 una discontinuidad de "salto finito".
Si pinchas aquí podrás abrir una animación que te permite experimentar con la discontinuidad. Sigue las indicaciones,Monotonía
En este apartado vamos a estudiar la monotonía de la función, que es la forma de decir que vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. Todos entendemos qué es crecer y decrecer y lo único que tenemos que tener bien claro es que siempre consideramos que vamos de izquierda a derecha en el estudio del crecimiento de una función, es decir, estamos analizando si lafunción crece o decrece según aumenta el valor de la x. En la siguiente animación (puedes pinchar sobre el punto y moverlo) verás que si Chuqui quiere alcanzar la tarta tiene que subir por la recta, lo que significa que a mayor valor de la x, mayor valor de la y.
Observa que entre los tramos de subida y bajada hay puntos de la gráfica donde la recta que simula la pendiente se pone totalmentehorizontal, es decir, la función ni crece ni decrece ¿qué ocurre en dichos puntos? Pues si la función pasa de ser creciente a ser decreciente, ese punto es un máximo de la función. Si por el contrario la función pasa de ser decreciente a ser creciente, la función tiene en ese punto un mínimo. Pincha aquí para ver un máximo en una función. Pincha aquí para ver un mínimo en una función.
Los tramos...