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Series de Fourier: Resultados básicos

Recordemos que la expresión matemática 



se llama una serie de Fourier . 
Desde esta expresión se refiere a la convergencia, empezamos definiendo una expresión similar cuando la suma es finita. 

Definición. Un polinomio de Fourier es una expresión de la forma 



que puede reescribirse como 




Las constantes de un 0 , un i y b i , ,son llamados los coeficientes de F n ( x ). 

Los polinomios de Fourier son funciones -periodic. Usando las identidades trigonométricas 



podemos demostrar fácilmente las fórmulas integrales
(1)
para , tenemos 


para n> 0 tenemos 

(2)
para m y n , tenemos 



(3)
para , tenemos 



(4)
para , tenemos 



El uso de las fórmulas anteriores, podemos deducir fácilmenteel siguiente resultado: 
Teorema. Deje 



Tenemos 




Este teorema ayuda a asociar una serie de Fourier para cualquier función -periodic. 
Definición. Deje que f ( x ) sea una función -periodic que es integrable en . Set 



La serie trigonométrica 




se llama la serie de Fourier asociada a la función f ( x ). Usaremos la notación 




Ejemplo. Encuentre la serie deFourier de la función 



Respuesta. Desde f ( x ) es impar, entonces un n = 0, para . Nos dirigimos nuestra atención a los coeficientes b n . Para cualquier , tenemos 




Deducimos 




Por lo tanto 





Ejemplo. Encuentre la serie de Fourier de la función 



Respuesta. Tenemos 




y 




Obtenemos b 2 n = 0 y 




Por lo tanto, la serie de Fourierde f ( x ) es 





Ejemplo. Encuentre la serie de Fourier de la función de la función 



Respuesta. Dado que esta función es la función del ejemplo anterior menos la constante . Así Por lo tanto, la serie de Fourier de f ( x ) es 





Observación. Se definió la serie de Fourier para funciones que son -periodic, uno podría preguntarse cómo definir una noción similar para las funciones queson L -periodic. 
Supóngase que f ( x ) se define e integrable en el intervalo [- L , L ]. Set 



La función F ( x ) se define y integrable en . Considere la serie de Fourier de F ( x ) 




El uso de la sustitución , obtenemos la siguiente definición: 

. Definición Deje f ( x ) una función definida e integrable en [- L , L ]. La serie de Fourier de f ( x ) es 



donde para . 

Ejemplo. Encuentre la serie de Fourier de 



Respuesta. Desde L = 2, obtenemos 




para . Por lo tanto, tenemos 















Series de Fourier - Los coeficientes de Fourier

Queremos aproximar una función periódica f (t), con periodo fundamental T , con la serie de Fourier:


[Ecuación 1]
¿Cuáles son los coeficientes óptimos de Fourier (a_m, b_n) de laecuación [1]? Vamos a empezar por mirar a una aproximación de un término de la anterior:


[Ecuación 2]
Aquí tenemos una aproximación de un término de la función. ¿Cuál es la mejor relación calidad-a0 que podemos elegir en este caso? Sin pruebas (que vendrá más tarde), el valor óptimo es:


[Ecuación 3]
¿Cómo conseguimos esto? Bueno, para responder de manera intuitiva, la integral de lafunción en el período es una manera matemática formal de la escritura "el valor de la media". Así que el primer término de la serie de Fourier es una constante, y es el valor promedio de la función. Para la onda cuadrada de la Figura 1 en la página anterior , el valor promedio es de 0,5, y la expansión de un término junto con la función se muestra en la Figura 2:

Figura 2. La forma de ondacuadrada y el término (constante) de expansión.
Tomemos otro término, por ejemplo el término b1, por lo que ahora tenemos una expansión de dos términos de la serie de Fourier:


[Ecuación 4]
¿Cuál es el valor óptimo de b1? Intuitivamente, queremos saber cómo correlaciona la función f (t) es con el pecado (2 * pi * t / T). En cierto sentido, queremos correlacionar la función f (t) y esta...