amorotiguado libre

CAPÍTULO

5
Aplicaciones de ED de segundo orden

5.2.2

Vibraciones amortiguadas libres

Continuando el desarrollo del estudio de las vibraciones, supongamos que se agrega ahora un dispositivo
mecánico (amortiguador) al sistema masa-resorte que tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa
cuando el sistema se encuentra vibrando (véase la figura a continuación).
x0
k
c

mEl amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad,
mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad supondremos que esta fuerza en magnitud es proporcional
a la rapidez, es decir: j FA j D c j v.t/ j, donde c > 0 es la constante de proporcionalidad.
Entonces, la fuerza que ejerce el amortiguador es
FA D cv.t/ D c

dx
;
dt

donde el signonegativo indica que la fuerza de amortiguación va en sentido contrario a la velocidad del
cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces:
F D FR C FA D kx

c

dx
; donde FR es la fuerza del resorte,
dt

lo que se puede escribir como:
m

d 2x
dx
Cc
C kx D 0
2
dt
dt

o bien como

1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

mx 00 .t/ C cx 0 .t/ C kx.t/ D 0:

(5.1)2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

La ecuación (5.1) modela el movimiento amortiguado de la masa. En este caso, la fuerza de amortiguación
produce una pérdida de energía en el sistema masa-resorte, pues ahora no se satisface la ecuación de conservación de la energía (??) en la página (??). Es de notar que todos los parámetros del modelo (m, c y k)
son cantidades positivas. La mismaecuación diferencial modela al sistema masa-resorte colocado verticalmente.
La ecuación característica de la ecuación diferencial es
mr 2 C c r C k D 0:
Las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son
p
c C c 2 4mk
&
r1 D
2m

r2 D

c

p
c2
2m

4mk

:

(5.2)

El signo del radicando c 2 4mk determina el tipo de movimiento del sistema. Tenemos tres posibilidades:
que elradicando en cuestión sea positivo, negativo o cero. Analizemos a continuación cada uno de estos
casos.

Movimiento sobreamortiguado c 2

4mk > 0, es decir c >

p

4mk

En el caso c 2 4mk > 0 las dos raíces que aparecen en (5.2) son diferentes y ambas son negativas, esto
implica directamente que la solución de la ED lineal homogénea es
p
p
c C c 2 4mk
c
c 2 4mk
r1 t
r2 t
x.t/ D c1e C c2e ; con r1 D
& r2 D
:
(5.3)
2m
2m
Las dos funciones exponenciales que aparecen en (5.3) son decrecientes, en consecuencia, no se espera vibración alguna y el sistema tiende rápidamente a regresar a su posición de equilibrio, por esa razón decimos
que el movimiento es sobreamortiguado. La forma explícita del movimiento depende de las condiciones
iniciales, que además sirven paradeterminar las constantes c1 , c2 .
Por ejemplo, consideremos el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador con condiciones iniciales
x.0/ D x0 , v.0/ D 0. La primera condición x.0/ D x0 se obtiene evaluando la expresión (5.3) en el tiempo
t D 0. Así obtenemos:
x0 D x.0/ D c1 C c2 :

(5.4)

Derivando la ecuación (5.3), obtenemos:
v.t/ D c1 r1 e r1t C c2r2 e r2 t :
Evaluando en t D 0,obtenemos la segunda ecuación a considerar, es decir,
0 D v.0/ D c1r1 C c2 r2 :

(5.5)

El sistema de ecuaciones lineales (5.4) y (5.5) para c1, c2 se puede resolver de diferentes formas; en este caso,
si seleccionamos la regla de Cramer, obtenemos:
x0 1
0 r2
x 0 r2
c1 D
D
I
r2 r1
1 1
r1 r2

1 x0
r1 0
x 0 r1
c2 D
D
:
r2 r1
1 1
r1 r2

Finalmente, sustituyendo en (5.3)obtenemos la siguiente expresión para la posición
Â
Ã
Â
Ã
Â
Ã
x 0 r2
x 0 r1
x0
x.t/ D
e r1 t
e r2 t D
.r2 e r1t r1 e r2 t /:
r2 r1
r2 r1
r2 r1

(5.6)

Ecuaciones diferenciales ordinarias 5

3

De la ecuación (5.2), tenemos que

p
c 2 4mk
r2 r1 D
:
m
Esto nos permite simplificar la ecuación (5.6) de forma que
x.t/ D p
c2

x0 m
4mk

.r2 e r1t

x0 m
r1 e r 2 t / D p...