AMORTIGUAMIENTO LIBRE

3.2.- Vibraciones libres con amortiguamiento.- Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energ�a se disipe. Las causas de este amortiguamiento est�n asociadas con diferentes fen�menos dentro de los cuales se puede contar la fricci�n de la masa sobre la superficie de apoyo, elefecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros. Existen numerosas maneras de describir matem�ticamente el efecto de fricci�n. Dentro de estos modelos, uno de los m�s utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso.
La ecuaci�n diferencial para este tipo de movimiento ser�:

[5.3.2.0.0.1]Siendo:

El par�metro  indica la intensidad del rozamiento y  es la frecuencia que tendr�a el oscilador si no hubiera rozamiento y recibe el nombre de frecuencia natural.
Soluci�n de la ecuaci�n diferencial.
La ecuaci�n que determina el movimiento de la masa es la del oscilador arm�nico con un t�rmino a�adido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que est� sometida la masa. Es unaecuaci�n diferencial de coeficientes constantes. La t�cnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma:

[5.3.2.0.0.2]
La idea es que al derivar esta funci�n; el resultado es ella misma multiplicada por el par�metro r.
Donde, A es una constante arbitraria y "r" es un par�metro o ra�z caracter�stica.
Derivando dos veces 5.3.2.0.0.2 respecto al tiempo, se tiene:[5.3.2.0.0.3]
Sustituyendo 5.3.2.0.0.2 y 5.3.2.0.0.3 en 5.3.2.0.0.1:

 (Ecuaci�n caracter�stica)
Resolviendo la ecuaci�n caracter�stica


[5.3.2.0.0.4]
a).- Para el caso en que , las ra�ces son distintas y si llamamos r1 y r2, la soluci�n general de 5.3.2.0.0.1 ser�:

[5.3.2.0.0.5]
b).- Para el caso en que , hay solo una ra�z repetida r y la sustituci�n directa mostrar�, que hay una soluci�n de la ecuaci�n5.3.2.0.0.1:

[5.3.2.0.0.6]
5.3.2.1.- Movimiento cr�ticamente amortiguado (amortiguamiento cr�tico).- Se da cuando el discriminante se anula, haciendo que la constante C reciba el nombre de coeficiente de amortiguamiento cr�tico .


[5.3.2.1.0.1]
El coeficiente de amortiguamiento real "C" y el cr�tico "CC" est�n relacionados por el factor de amortiguamiento relativo (raz�n de amortiguamiento ofactor amplificador o �ndice de amortiguamiento) " " (eta) o "" (zeta), de la siguiente manera:

[5.3.2.1.0.2]
5.3.2.1.0.1 en 5.3.2.1.0.2:

[5.3.2.1.0.3]
5.3.2.1.0.3 en 5.3.2.0.0.4:


[5.3.2.1.0.4]
Para el movimiento cr�ticamente amortiguado , que no pertenece a un movimiento vibratorio. Para este caso, el sistema retorna a su posici�n de equilibrio sin vibrar en el menor tiempo posible
Para estecaso la soluci�n de 5.3.2.0.0.1 est� dada por 5.3.2.0.0.6:

[5.3.2.1.0.5]
Representaci�n gr�fica de los distintos movimientos:

Figura F5-3.2.1
5.3.2.2.- Movimiento sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercr�tico).- Se da cuando el discriminante tiene un valor real, luego  y la soluci�n de 5.3.2.1.0.1 est� dado por 5.3.2.0.0.5


[5.3.2.2.0.1]
El sistema retorna a su posici�n de equilibriosin vibrar en un tiempo mayor, que el que, se produce cuando el amortiguamiento es cr�tico.
5.3.2.3.- Movimiento subamortiguado o movimiento vibratorio amortiguado (amortiguamiento d�bil o sub cr�tico).- Se da cuando el amortiguamiento es peque�o, haciendo que el discriminante tenga ra�ces complejas conjugadas, luego  (sub cr�tico):
 (i = - 1 unidad imaginaria)
En 5.2.2.2.0.5:


[5.3.2.3.0.1]Considerando las relaciones de Euler:

[5.3.2.3.0.2]
Ver: Fasor
Se anula las ra�ces de las cantidades imaginarias: 5.3.2.3.0.2 en 5.3.2.3.0.1:



[5.3.2.3.0.3]
En 5.3.2.3.0.1 llamamos  a la frecuencia angular del sistema (frecuencia de las oscilaciones amortiguadas o pulsaci�n propia amortiguada), definido por la siguiente relaci�n:
 donde: 
[5.3.2.3.0.4]
El valor del coeficiente de amortiguamiento en...