ampliación de matemáticas

Tema 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias.
1.

Introducción (EJEMPLO):
′
a. ¿ ( )?
= . Podemos tantear la solución:
( )=0←
.
( )=

→ ( )=
( ) = −2
 Si nos plantean una condición inicial (0) =
(0) =

b.

=

→

Interpretación geométrica:

ó

=

=

( )=

→ La pendiente de la recta tangente

es igual al valor de la ordenada.
Por el procedimiento general:
=→

=

→

> 0 → log( ) = +
< 0 → log(− ) = +
=

;

( )=

=
→
=
→ − =

=
=

∀ ∈ℝ

2.

Teoría: Ecuación diferencial de primer orden: Ecuación en la que aparece la función incógnita y
su primera derivada. Suelen ir acompañadas por una condición inicial ( ( ) = ) para
particularizar a una función de una familia de funciones.
a. Interpretación geométrica:
= ( , ). Lapendiente es una función de
b. Isóclinas: Curvas del plano
tal que ( , ) =

3.

Teoría: Ecuaciones de variables separables (método de resolución)

= ( ) · ℎ( )

( )= ( )+

ℎ( )

ℎ( )

= ( )

=

( )

ó

1
Pablo Ramón Soria
2º INGENIERIA INDUSTRIAL – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

a.

Caso particular: familia de exponenciales (Todas las soluciones son múltiplos de una
enparticular).
= ( )

4.

= ( )

→

→

=

( )

∀

∈ℝ

Ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden:
a. Forma general:
′

i.
ii.
b.

( )=0→
( )≠0→

′
′

+ ( ) = ( )

+ ( ) = 0 → Lineal homogénea.
+ ( ) = ( ) → Lineal NO homogénea.

EDL1erO Homogénea: ′ + ( ) = 0
( ) son soluciones de una EDL homogénea, entonces:
i. Si ( )
+
( ) también es una solución.
( )+
( )Demostración: ℎ( ) =
| =ℎ
( )+
( )
ℎ( )=
|
=ℎ
+ ( ) =0
( )+
( )+ ( )
( )+ ( )
( )=0
( )+ ( ) ( ) +
( )+ ( ) ( ) =0
( ) con ( )
ii. Todas las soluciones de una EDL homogénea son ( ) =
solución trivial de la EDL homogénea. Es decir, el espacio vectorial de la
solución tiene dimensión 1.
Recordamos: + ( ) = 0
=− ( )

→

( )=

∫ ( )
( )

c.

EDL1erO NO Homogénea: ′ + ( )= ( )
( ) son soluciones de una EDL NO homogénea, entonces
i. Si ( )
( ) − ( ) es la solución de la homogénea asociada.
Demostración:
+ ( ) =
→ ( − ) + ( )( − ) = 0
+ ( ) =
( − ) + ( )( − ) = 0
=
−
( )+ ( )
ii. La solución general de la EDL NO homogénea es ( ) =
( )
ó ℎ
é
∈ℝ
con
. La solución
( )
ó
ℎ
é
es una recta que no pasa por el origen.

2
Pablo Ramón Soria
2ºINGENIERIA INDUSTRIAL – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

d.

Método de resolución de EDL1erO NO Homogéneas:
1) Resolver el sistema homogéneo asociado + ( )

=0→

( )

=

2) Método de variación de constantes: Euler propuso que para resolver el sistema
no homogéneo teníamos que buscar la solución fuera del Espacio vectorial, es
decir, en una recta, entonces propuso un “cambio de variable”,cambiando la
( ) por ( ) = ( ) ( ) por lo tanto:
incógnita/solución ( ) =
( )=

( )

( )+ ( )

( )

Ahora sustituimos ( ) e ( ) en la ED:
( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) = ( )
( )
( )+ ( ) ( ) + ( ) ( )= ( )
( )=

( )
→
( )

( )
( )

( )=

+

Ahora deshacemos el “cambio de variable” ( ) = ( ) ( ) y obtenemos la
solución:
( )
( )= ( )
( )
+
( )
ó
é

ó
é

Aunque tengamos el sistema de ctes variables para resolver las
ecuaciones variables por norma general evitaremos integrar, por lo
que siempre intentaremos ensayar (Probar) soluciones antes.
o Si tenemos que +
= :
1) Sistema homogéneo +
= 0. Ensayo =
:
( + )=0 →
+
=
=−
( )=
2) No homogéneo +
= con =
Ensayo ( ) = ( )
→ =
( +
)
+
=
+
+
=
+( + )

2’) No homogéneo

+

Ensayo () =

=

con

(

)+

( )

:
+

=

(
(

=
(

)
:
)

)

3
Pablo Ramón Soria
2º INGENIERIA INDUSTRIAL – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

5.

Método de resolución de E.D. ordinarias de Cambio de Variables:
a.
= ( +
+ ) ∀ , , ∈ ℝ:
( )=

→ El cambio es

( )+

+

→ ( )= + ( )= + ( +
→ La nueva ecuación diferencial es
( )=

E.D. Homogénea

=

( )

+...