Amplificadores Operacionales

Capítulo 11

Funciones elementales
La familiaridad que a través del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial,
el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca
hemos establecido una definición analítica rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gráficas,
en algunos casos, o confiando en la autoridad en otros, hemosaceptado ciertas propiedades (entre
ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás.
Excepciones notables a esta situación han sido la función logaritmo y la función exponencial.
En el capítulo de integración, el teorema fundamental del cálculo integral (teorema 6.3.4) nos proporcionó un método de construcción de la función logaritmo como primitiva de la función1/x, y
definimos luego la función exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la única manera de
construir estas funciones, como vamos a probar a continuación, invirtiendo el proceso: definiremos
primero la función exponencial como suma de una serie, y después el logaritmo como inversa de la
exponencial. Igualmente definiremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series depotencias, y demostraremos después que las funciones así definidas tienen todas las propiedades que
manejamos habitualmente. En la última sección, veremos cómo también es posible construir las funciones trigonométricas por el método de las primitivas, empezando con las funciones trigonométricas
inversas.
Nos situamos, pues, en el principio de los tiempos, como si nunca hubiéramos oído hablar deestas funciones, y sin más herramientas que los conocimientos teóricos aprendidos a lo largo del
curso (que no se apoyan en las propiedades de estas funciones) vamos a definirlas partiendo de cero,
bien mediante series de potencias, bien mediante primitivas.

11.1. Funciones elementales: construcción mediante series de potencias
Vimos cómo, dando por conocidas las propiedades básicas dederivación de las funciones elementales, se obtiene una representación de estas funciones mediante series de potencias. Sin embargo,
desde el punto de vista del desarrollo lógico del Análisis Matemático, sería más conveniente proceder
al revés, es decir, tomar como punto de partida las series para definir las funciones elementales y obtener de esa definición todas sus propiedades. Esbozamos en lo que siguecómo se puede llevar a cabo
este programa.
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Capítulo 11. Funciones elementales

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11.1.1. Función exponencial
+∞

La serie de potencias

xn

∑ n! tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos definir en todo

n=0

R una función como suma de tal serie.
Definición 11.1.1. Se llama función exponencial a la función exp : R → R definida por
exp(x) =

+∞

xn
∑.
n=0n!

El número exp(1) se denota por e, y se escribe ex en lugar de exp(x), lo que se justifica por la
propiedad e) que probamos a continuación.
Propiedades 11.1.2.
a) La función exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es
ella misma: para cada x ∈ R,
(ex ) = ex .
b) e0 = 1.
c) Para cada x ∈ R,

e−x =

1
,
ex

y, en particular, ex = 0.
d) Dados x, y ∈ R,

ex+y = ex ·ey .

e) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex ,
n

enx = ex · · ·ex .
f) Para cada x ∈ R,

ex > 0.

g) La función exponencial es estrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva.
h) Se tiene
l´m ex = +∞,
ı

x→+∞

l´m ex = 0.
ı

x→−∞

En consecuencia, el conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞).
Demostración. Segúnvimos en el capítulo 6, es suficiente probar las dos primeras propiedades (ya
vimos cómo se obtenían las demás a partir de ellas). Pero la segunda es trivial y para obtener la primera
basta aplicar la regla de derivación de una función definida mediante una serie de potencias.

11.1. Funciones elementales y series de potencias

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11.1.2. Función logarítmica
Una vez conocidas las...