Amte04

Tema 4
Integrales m´
ultiples
4.1

Introducci´
on.

En el primer curso de Fundamentos se plante´o el problema de hallar el ´area comprendida
entre la gr´afica de una funci´on positiva y = f (x) , el eje OX y las rectas x = a, x = b.
Dicha ´area se representaba como ab f (x)dx.

1

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TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

2

Vimos que este problema estaba relacionado con el c´alculo de una primitiva de f(x) .
El Teorema de Barrow nos asegura que si F (x) es tal que F (x) = f (x) entonces
A = ab f (x)dx = F (b) − F (a).
Nuestro problema es el c´alculo del volumen de un prisma de base rectangular
R = [a, b] × [c, d] y limitado superiormente por la gr´afica de una funci´on z = f (x, y)
positiva.
A este volumen lo denotaremos por

R

f (x, y)dxdy.

Difiere del problema anterior en que no se resuelveencontrando una primitiva de
f (x, y) (no tiene sentido), sino por el c´alculo de vol´
umenes por secciones.
El volumen vendr´a dado por la suma infinita de las ´areas de las secciones que se
obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o tambi´en sumando las
´areas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al
plano Y Z.

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TEMA 4.INTEGRALES MULTIPLES

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d

V =

f (x, y)dxdy =
R

donde A(y) =
fija.
As´ı V =

d
c

b
a

(

c

f (x, y)dx, A(x) =
b
a

f (x, y)dx)dy =

b

A(y)dy =

b
a

d
c

(

f (x, y)dy
d
c

A(x)dx
a

considerando en cada caso la x o la y

f (x, y)dy)dx .

El problema se convierte en el c´alculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver.

4.2

Integral doble sobre un rect´
angulo.

Definamos ahora elconcepto de integral doble de una funci´on z = f (x, y) no necesariamente positiva sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d].
Dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, eligiendo para ello n + 1 puntos a =
b−a
x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b siendo xi+1 − xi =
= ∆x.
n
Elegimos, de forma an´aloga, m + 1 puntos del intervalo [c, d]
d−c
c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym = d con yi+1 − yi =
= ∆y.
m
As´ıobtenemos n · m rect´angulos [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] = Rij de ´area ∆A = ∆x · ∆y.
Sea cij = (x∗i , yj∗ ) ∈ Rij ⇒ f (cij ) · ∆A es el volumen del peque˜
no prisma del dibujo.

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TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

Llamemos

4

n−1 m−1

Snm =

f (cij )∆x∆y
i=0 j=0

Definici´
on 4.1 (Integral doble)
Si existe

lim Snm y no depende de la elecci´
on de los valores cij , entonces se dice

n,m→∞

que f esintegrable sobre R y al valor de dicho l´ımite se le llama integral doble de f(x,y)
sobre R.
n−1 m−1

R

f (x, y)dxdy = n,m→∞
lim

f (cij )∆x∆y
i=0 j=0

Si f (x, y) es una funci´on positiva,
R f (x, y)dxdy representa el volumen del prisma
rectangular de base R y limitado superiormente por la gr´
afica de f.
Si f (x, y) es negativo, representa un volumen negativo.
Teorema 4.1 Cualquier funci´oncontinua sobre un rect´
angulo es integrable.

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TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

4.2.1

5

Propiedades de la integral doble.

I Linealidad.

R [af (x, y)

+ bg(x, y)]dxdy = a

R

f (x, y)dxdy + b

R

g(x, y)dxdy.

II Monoton´ıa. Si f (x, y) ≥ g(x, y) ∀ (x, y) ∈ R , entonces :
f (x, y)dxdy ≥
R

g(x, y)dxdy
R

III Aditividad. Si D = R1 ∪ R2 es uni´on de dos rect´angulos disjuntos:
D

f (x, y)dxdy =

R1f (x, y)dxdy +

R2

f (x, y)dxdy

IV Teorema de Fubini. Si z = f (x, y) es continua sobre R = [a, b] × [c, d], entonces:
b

f (x, y)dxdy =
R

4.3

d

(
a

d

f (x, y)dy)dx =
c

b

(
c

f (x, y)dx)dy
a

Integral doble sobre regiones m´
as generales.

Vamos a definir la integral doble de funciones sobre los siguientes tipos de regiones:
Regiones del tipo I D = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y≤ f2 (x)}.

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TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

6

Regiones del tipo II D = {(x, y) ∈ IR2 / c ≤ y ≤ d, g1 (y) ≤ x ≤ g2 (y)}.

Regiones del tipo III
giones de tipo I o de tipo II.

Son las que se pueden expresar indistintamente como re-

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TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES

7

Definici´
on 4.2 Sea D un regi´on de tipo I, II ´
o III. Sea z= f(x,y) una funci´
on continua.
Consideremos una regi´on de tipo...