Análisis Matemático

Sistemas Decimal y Binario

El sistema num´rico de uso frecuente es el sistema decimal. La base del sise
tema decimal sabemos es 10. Ahora bien la mayor´ de las computadoras no
ıa
usan el sistema decimal en los c´lculos ni en la memoria, sino que usan el sisa
tema binario que tiene base 2, y su memoria consiste de registros magn´ticos,
e
en los que cada elemento solo tiene los estadosencendido o apagado.
La base de un sistema num´rico recibe el nombre de ra´ Para el sistema
e
ız.
decimal como se dijo es 10 y para el binario es 2.
La base de un n´mero se denota por un sub´
u
ındice as´ que (3.224)10 es 3.224
ı
en base 10, (1001.11)2 es 1001.11 en base 2.

3

4

J Vel´squez Zapateiro/ V. Obeso Fern´ndez
a
a

El valor de un n´mero base r es (abcdef g.hijk)r y secalcula como
u
a×r6 +b×r5 +c×r4 +d×r3 +e×r2 +f ×r1 +g×r0 +h×r−1 +i×r−2 +j×r−3 +k×r−4

1.2.

Del Sistemas Decimal al Sistema Binario

Consideremos el n´mero 17 en base 10 (de aqu´ en adelante se omite la base
u
ı
si ´sta es 10) este se puede escribir en base 2 de la siguiente forma
e
(17)10 = (10001)2
en efecto
1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 16 + 1 = 17,
o tambi´n
e427.325 ≈ (110101011.0101001)2
Ahora (1001.11101)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2−1 + 1 ×
2−2 + 1 × 2−3 + 0 × 2−4 + 1 × 2−5 = 9.90625.
En general si N es un n´mero natural entonces existen cifras a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ,
u
aK ∈ {0, 1} tales que
N = aK × 2K + aK−1 × 2K−1 + aK−2 × 2K−2 + · · · + a1 × 21 + a0 × 20 .
Un algoritmo para encontrar la representaci´n binaria de unn´mero natural
o
u
N , se puede establecer si dividimos la expresi´n anterior entre dos teniendo
o
entonces que
a0
N
= aK × 2K−1 + aK−1 × 2K−2 + aK−2 × 2K−3 + · · · + a1 × 20 + ,
2
2
si llamamos
P0 = aK × 2K−1 + aK−1 × 2K−2 + aK−2 × 2K−3 + · · · + a1 × 20 ,
entonces

a0
N
= P0 + ,
2
2
luego a0 es el resto que resulta de dividir a N entre dos, dividiendo ahora a
P0 entre dos setiene que
P0
a1
= aK × 2K−2 + aK−1 × 2K−3 + aK−2 × 2K−4 + · · · + a3 × 21 + a2 × 20 + ,
2
2
´
CAP´
ITULO 1. NUMEROS EN LA COMPUTADORA

5

An´lisis Num´rico. Notas de clase
a
e

con lo que

a1
P0
= P1 + ,
2
2

donde
P1 = aK × 2K−2 + aK−1 × 2K−3 + aK−2 × 2K−4 + · · · + a3 × 21 + a2 × 20
o sea que a1 es el resto de dividir a P0 entre dos, y se continua este procedimientohasta que se encuentre un n´mero K, tal que PK = 0, de lo anterior
u
se tiene el siguiente algoritmo
N = 2P0 + a0
P0 = 2P1 + a1
.
.
.
PK−2 = 2PK−1 + aK−1
PK−1 = 2PK + aK

PK = 0

Ejemplo 1.2.1. Utilizar el algoritmo anterior para escribir a 1357 en notaci´n binaria.
o
Soluci´n
o
1357 = 678 × 2 + 1,

a0 = 1

678 = 339 × 2 + 0,

a1 = 0

339 = 169 × 2 + 1,

a2 = 1

169 = 84 ×2 + 1,

a3 = 1

84 = 42 × 2 + 0,

a4 = 0

42 = 21 × 2 + 0,

a5 = 0

21 = 10 × 2 + 1,

a6 = 1

10 = 5 × 2 + 0,

a7 = 0

5 = 2 × 2 + 1,

a8 = 1

2 = 1 × 2 + 0,

a9 = 0

1 = 0 × 2 + 1,

a10 = 1

1.2. DEL SISTEMAS DECIMAL AL SISTEMA BINARIO

6

J Vel´squez Zapateiro/ V. Obeso Fern´ndez
a
a

luego
1357 = a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 = (10101001101)2Supongamos ahora se tiene Q ∈ R con 0 < Q < 1, entonces existen,
b1 , b2 , b3 , b4 · · · ∈ {0, 1}, tal que
Q = 0.b1 b2 b3 b4 b5 . . . ,
y por tanto
Q = b1 × 2−1 + b2 × 2−2 + b3 × 2−3 + · · · + bk × 2−k + . . .
si multiplicamos a Q por dos se tiene que
2Q = b1 + b2 × 2−1 + b3 × 2−2 + · · · + bk × 2−k+1 + . . .
si F1 = f rac(2Q), donde f rac(x) es la parte fraccionaria de x, y b1 = [|2Q|],donde [|x|], es la parte entera de x, entonces
F1 = b2 × 2−1 + b3 × 2−2 + · · · + bk × 2−k+1 + . . . ,
multiplicando ahora a F1 por dos se tiene que
2F1 = b2 + b3 × 2−1 + · · · + bk × 2−k+2 + · · · = b2 + F2 ,
donde F2 = f rac(2F1 ), y b2 = [|2F1 |], continuando este proceso formamos
dos sucesiones {bk } y {Fk }, dadas por bk = [|2Fk−1 |] y Fk = f rac(2Fk−1 ), con
b1 = [|2Q|] y F1 = f...