Análisis de circuitos eléctricos por método de grafos

Análisis de Circuitos eléctricos por el método de Grafos,
comprobados por la ecuación completa de LaGrange

UPIITA-IPN
DF 07340, México

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Resumen— Este texto presenta el análisis y los resultados de

El primero de ellos se presenta a continuación:

la simulación de un circuito eléctrico compuesto por tres
mallas, utilizando el método de Grafos. Para la comprobación
de losresultados, se usará el análisis por Lagrange. En ambas
simulaciones se podrá observar que los resultados son
exactamente iguales. En teoría de grafos, se define a un grafo
como el conjunto de nodos que permite representar relaciones
entre elementos de un conjunto.

Palabras clave:

Grafo, digrafo, grafo generador, conjunto
corte, árbol generador, ciclo fundamental.

I. INTRODUCCIÓN
En eltranscurso de la materia de Modelado y simulación de
sistemas mecatrónicos, se ha aprendido a modelar diversos
tipos de sistemas usado diferentes métodos, para el
desarrollo de esta practica se implementa el uso de grafos.
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten
estudiarlas interrelaciones entre unidades que interactúan
unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puederepresentarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los
vértices representan terminales y las aristas representan
conexiones (las cuales pueden ser cables o conexiones
inalámbricas). Un enfoque similar puede tomarse para
abordar problemas de biología, de diseño de circuitos para
computadoras, análisis de redes de tráfico, y muchos otros
casos.
Prácticamente cualquier problema puederepresentarse
mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas
áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales. Una
estructura de grafo puede ser extendida asignando un peso a
cada orilla del grafo. Los grafos con pesos (o
ponderaciones), también denominados grafos ponderados,
son utilizados para representar estructuras en las que las
conexiones por pares tienen algunos valoresnuméricos.

II. DESARROLLO
Para esta practica se realizo el modelado y simulación de
2 circuitos.

Ahora se analizará el circuito por el método de Euler –
LaGrange, haciendo un análisis de mallas, por tanto se
tendrá una coenergía magnética debido a los inductores y
una energía eléctrica por los capacitores.
La co-energía magnética depende de la corriente del
inductor:

(̇ )

̇

Laenergía eléctrica del capacitor depende de la carga del
capacitor:
( )
Se sabe que el Lagrangiano viene dado por la diferencia de
ambas:
(
̇ )
(

)
̇

̇

Las fuerzas disipativas que generan las resistencias son
modeladas con la función de Rayleigh:

̇

̇

Las restricciones holonómicas vienen dadas por las
siguientes expresiones:

̇

̇

̇

̇
̇

̇

̇
̇

̇
̇̇

Por otra parte, se sabe que la ecuación completa de Lagrange
es:
( ̇)
(̇
)
(̇
)

[

Para ̇

]

̇

̇

̇
[

Para :
La condición que genera el conjunto corte que contiene a la
orilla es:

]
̇

̇

La primera ecuación de equilibrio
̇

Para ̇

̇

Para :
La condición que genera el conjunto corte que contiene a la
orilla es:

̇
[

]
̇

Tomando esto encuenta, se determinarán los ciclos
fundamentales asociados con el árbol generador, estos ciclos
son:

̇

La segunda ecuación
̈

Para ̇

A continuación se determinarán los conjuntos corte.
Para :
La condición que genera el conjunto corte que contiene a la
orilla es:

( ̇

̇ )

( ̇

̇ )
*
*
*

̇
[
̇

]

+
+
+

̇

La tercera ecuación de equilibrio es:
( ̇Ahora se aplica la ley de voltajes de Kirchhoff a estos ciclos,
se obtiene.
̇ )

Ahora se analizará el circuito por el método de grafos para
obtener las ecuaciones de equilibrio.
Primero que nada es necesario entender que los vértices del
grafo asociado corresponden a los puntos de unión marcados
con • y las orillas corresponden a los elementos de la red (1
capacitor, 1 inductor, 2...