Análisis de información

´ CALCULO DE SUMATORIAS1 1.
1.1.

Sumatorias
¿Qu´ es una sucesi´n? e o

Las sucesiones est´n por todas partes, invaden el espacio, la prensa llena sus a informativos con ellas, algunas son gratas y otras nos llegan hasta atormentar. La simple enumeraci´n de las p´ginas de un peri´dico es un pedazo de sucesi´n, o a o o como tambi´n el valor diario de la U.F. o el dolar son t´rminos espec´ ee ıficos de algunas de estas secuencias num´ricas. ¡Qu´ decir de nuestro ingreso mensual!, o e e de las distintas sucesiones (dividendo, cuenta del agua, arancel universitario,...) que representan nuestras obligaciones econ´micas peri´dicas. Existen muchos o o aspectos y problem´ticas de inter´s relativas a las sucesiones, ac´ nos limitamos a e a al desaf´ de conocer ciertas t´cnicas para sumarsucesiones. ıo e Hemos de recordar que una sucesi´n es un tipo de funci´n, un tipo especial, o o una de valores reales, pero con dominio los cardinales (tambi´n se acostumbra los e naturales). A veces es necesario hacer las presentaciones con cierta formalidad, permit´mosnos la siguiente definici´n: a o Definici´n 1. Una funci´n a : N∗ → R, i.e., una funci´n que a cada n´mero o o o u cardinal asocia unn´mero real, se llama sucesi´n. La imagen de un k ∈ N∗ , u o esto es, a(k); se denotar´ ak , y la sucesi´n misma por {ak }. a o

1.2.

¿Por qu´ sumar sucesiones? e

Existen variadas razones por las que hemos de sumar sucesiones, por ejemplo, cada vez que es necesario hacer registro de c´mo los valores de una secueno cia num´rica (v.g., una serie de tiempo) se van acumulando. La secuencia dee kil´metros que un autom´vil recorre cada d´ es modelable por una sucesi´n, el o o ıa o kilometraje acumulado es la suma de esos valores. Todos los ciudadanos que hacen su declaraci´n anual de impuesto a la renta, deben sumar los doce t´rminos o e de la sucesi´n de ingresos mensuales del a˜o declarado y cada uno multiplicado o n por un factor actualiza su valor. Veamos un ejemplo m´s detallado.a En una libreta de ahorro, con capitalizaci´n mensual y que gana intereses o a una tasa del 1 % por per´ ıodo, usted ha decidido hacer dep´sitos mensuales. o Abri´ la cuenta con $ 30,000.− y cada mes ahorra mil pesos m´s que el mes o a anterior. ¿Cu´nto tiempo habr´ de esperar para juntar $ 4,000,000.−? a a Dispongamos la informaci´n en una tabla de tiempo-valor. En la primera o fila tenemos eltiempo (meses) y en la segunda el dinero (miles de pesos). mes monto 0 30 1 2 3 4 31 32 33 34 5 ··· 35 · · · k 30 + k ··· ···

1 Dr. Fernando C´rdova-Lepe. Instituto de Cs. B´sicas, Universidad Cat´lica del Maule, o a o E-Mail: fcordova@universia.cl

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Si n, n ∈ N, es el n´mero de meses de espera, notemos que los primeros $30 mil u se transforman al ganar intereses en $ 30(1, 01)n mil. Deigual modo el dep´sito o de $31 mil llega a ser $ 31(1, 01)n−1 mil. En general el k-´simo dep´sito de $ e o (30 + k) mil ganan intereses hasta transformarse en $ (30 + k)1, 01n−k mil. ¿Por qu´? Obtenemos la sucesi´n: e o ak = (30 + k)1, 01n−k . As´ el monto acumulado (miles de pesos) en n-meses, se logra sumando lo que ı en Matemem´ticas Financieras se conoce como una Renta Anticipada Variable. a Asaber: a0 + a1 + · · · + an−1 , que podemos leer como la sumatoria de los primeros n t´rminos de la sucesi´n. e o Quiz´s no sea dificultad mayor calcular esta suma para un n´mero cardinal a u n en particular. Aun si n es un valor muy grande este puede ser un asunto que pruebe nuestra paciencia, pero para n general, como parece ser la necesidad del problema planteado, ya es otra cosa, es el tipo decosas que deseamos usted aprehenda. ¿Qu´ valor debe tener n? e

1.3.

¿C´mo simbolizar sumatorias? o

Hay una letra griega que comunmente est´ reservada para denotar procesos a aditivos, esta es la letra sigma. Como usted recordar´ su versi´n may´scula, Σ, a o u se utiliza para denotar la suma de t´rminos consecutivos de sucesiones. Dada e una sucesi´n {ak }, por ejemplo, la suma a36 + a37...