Análisis Del Modelo de 1 GDL

1.- Introducción.

En el presente informe se realizará el análisis de la respuesta de un sistema de un grado de libertad. El sistema se sometió a distintas pruebas en el laboratorio. Las pruebas consideradas fueron: pruebas con un desplazamiento inicial, velocidad inicial (impacto), disipación adicional, y resonancia mediante una aceleración forzante. Además se determina la rigidez K elsistema.
Durante el desarrollo del experimento se determinó que el tipo de disipación para los casos ensayados es magnético, el cual no califica ni como viscoso ni friccional. Para el análisis fue necesario profundizar en el conocimiento de las respuestas de los sistemas de un grado de libertad con este tipo de decaimiento en los valores de las aceleraciones. Para este fin se profundizó en lateoría de vibración armónica con fricción de Coulomb, puesto que se consideró que la fuerza disipadora se ajusta al modelo de la teoría de Coulomb, sin embargo se encontró que la teoría de Coulomb tenía algunas dificultades para el cálculo de parámetro µ con los datos experimentales tomados. Por cual se calculó y analizó el sistema por medio del modelo de fuerzas disipadoras viscosas, ya que parapequeñas deformaciones el amortiguamiento friccional se asemeja al viscoso, y se simplifica el problema encontrando el valor de β por medio de decaimiento logarítmico. Para estos casos se pudo encontrar el valor de un β equivalente del problema.

Marco Teórico.

Un tipo de amortiguamiento es el friccional. Este está caracterizado como sigue: La fuerza de fricción se modela como F=μN, donde μdenota el coeficiente de roce, N es la fuerza normal. La dirección de la fuerza de fricción se opone al movimiento y el signo de la fuerza de fricción cambiará cuando la dirección del movimiento cambie. Estas dos hipótesis darán dos ecuaciones diferenciales, una válida para el movimiento en una dirección y la otra válida cuando el movimiento sea en la dirección contraria al primero.

La ecuaciónque gobierna el movimiento de la masa desde la derecha a la izquierda es,
mu ̈+kμ=F

Figura 1.1.1

La solución es
u(t)=A_1 cos(w_n t)+B_1 sin⁡(w_n t)+u_f
Donde u_(f=) F/K . Para el movimiento de la masa de izquierda a derecha la ecuación es
mu ̈+kμ=-F
Cuya solución es,
u(t)=A_2 cos(w_n t)+B_2 sin⁡(w_n t)-u_f
Con w_n igual a la frecuencia natural del sistema. Las constantes A_1,A_2, B_1, B_2 dependen de la condición inicial de cada medio ciclo de movimiento.
Para el primer medio ciclo de movimiento se cumple que la respuesta general está dada por:
u(t)=[u(0)-u_f ]cos(w_n t)+u_f 0≤t≤π/w_n

Para el segundo ciclo se cumple que

u(t)=[u(0)-3u_f ]cos(w_n t)-u_f π/w_n ≤t≤2π/w_n

Se observa que la relación entre los máximos encontrados para losdesplazamientos es;


Figura 1.1.2

Se podrían calcular los valores de las aceleraciones en los tramos indicados mediante la derivación de las formulas anteriormente detalladas.
Sin embargo esto resultaría solo para el caso en el que es desplazamiento inicial es conocido. Para el caso de un impacto se tiene que las velocidades iniciales no son conocidas por lo que no sería conveniente elencontrar los valores de µ mediante este método.
A modo de ajustarse a los datos tomados de los ensayos de laboratorio, se calcularon valores de amortiguamientos viscosos equivalentes.






Descripción del Modelo.

A continuación se presenta un esquema del modelo de 1 GDL en estudio.

Figura 1.2.1: Modelo de 1GDL


Como se ve puede observar, el sistema consiste en un trozo de maderaunido un bloque cilíndrico de madera en su parte superior. El bloque está conectado con dos resortes, y sobre él está adherido un trozo de imán que aporta masa al sistema. La parte inferior del trozo de madera está sujeta en un trozo hueco de madera que tiene dentro un rodamiento para permitir el giro. Este sistema está conectado con un cubo de madera que está empotrado a la base, de dimensiones...