Análisis del sistema masa resorte

Análisis del sistema masa resorte amortiguado



Donde:
K= constante elástica del resorte
m= masa.
R(t)= acción de una fuerza externa.
y(t)= posición de la masa en el tiempo t.

Laecuación que define este modelo matemático esta dado por:



Análisis general de la ecuación Diferencial




Ecuación Auxiliar:

Hallando las raíces:

⎛ 2 b k ⎞
#1:SOLVE⎜r + ⎯·r + ⎯ = 0, r⎟
⎝ m m ⎠

2 2
√(b - 4·k·m) - b √(b -4·k·m) + b
#2: r = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ r = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·m 2·m


Se puede distinguir tres casos posibles quedependen del signo algebraico ().

Caso I: > 0: El sistema es sobre amortiguado.
Caso II: = 0: El sistema es críticamente amortiguado.
Caso III: < 0: El sistema es Sub amortiguado.

Elsistema será analizado para dos valores distintos de R(t):

Donde:
1. R(t)= (t) Impulso.
2. R(t)= 1 Escalón.

Reemplazando en la ED:

Ecuación equivalente:

Transformada de Laplace:
Usando:
LL
L
L
L
Reemplazando:


Para los valores iníciales dados: y’(0)=0, y(0)=0



Resolviendo para R(t)=(t)
2
#3: SOLVE(m·(s ·Y(s))+ b·(s·Y(s)) + k·Y(s) = 1, Y(s))


1
Y(s) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#4:2
b·s + k + m·s

Caso I: > 0: Sistema sobre amortiguado.

Reemplazando: b=4, k=0.5, m=2

⎛ 1 ⎞INVLaplace⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#5: ⎜ 2 ⎟
⎝ 2·s + 4·s + 0.5 ⎠

t·(√3/2 - 1) - t·(√3/2 + 1)
√3·...