Análisis didáctico de matemáticas en educación para adultosducación

ANÁLISIS MATEMÁTICO






A continuación aparecen los axiomas que propuso Peano en 1.898 en los cuales introdujo cambios a los axiomas iniciales incluyendo como primer elemento al cero, sin embargo esto no introduce modificaciones sustanciales en relación a los que el propuso en 1889, en su pequeño libro, escrito en latín, titulado Arithmetices Principia Nova Método Exposita. De losaxiomas de Peano se pueden deducir las propiedades mas conocidas de los números naturales las cuales se encuentra en este documento.




1 La axiomática de Peano


A continuación se hace una presentación muy resumida de la primera parte del libro de Peano). En el prefacio se introduce una gran cantidad de notación lógica.

✓ El símbolo N significa número (entero positivo).
✓ El símbolo 1significa unidad.
✓ El símbolo a + 1 significa el sucesor de a, o, a más 1.
✓ El símbolo = significa es igual a.


En seguida se enuncian los “axiomas”. En esta presentación sólo se ha
modificado la notación lógica.

1. 1 ( N
2. Si a ( N entonces: a = a
3. Si a ( N entonces: a = b si y solo si b = a
4. Si a, b, c ( N entonces: a = b, b = c implica a = c
5. Si a = b y b ( N entonces: a( N
6. Si a ( N entonces: a + 1 ( N
7. Si a + 1 ( N entonces: a = b si y solo si a + 1 = b + 1
8. Si a ( N entonces: a + 1 ( 1
9. Si k es una clase, 1 ( k, y si para x ( N: x ( k implica x + 1 ( k,
entonces N ( k.


Los axiomas 2, 3, 4 y 5, que se refieren a la igualdad, hoy se consideran pertenecientes a la lógica fundamental. Los restantes cinco axiomas son conocidos como “los axiomasde Peano”. El último axioma, es una traducción del principio de inducción matemática, esta formulado en términos de clases y contiene una clase variable k (en la presentación de Peano aparece también una clase de todas las clases, K).


Axiomas

1. 0 es un numero natural.
2. El sucesor de cualquier numero natural n es un numero natural n+.
3. 0 no es el sucesor de numero alguno. (0 es elprimer numero natural).
4. Dos números naturales diferentes no tienen nunca el mismo sucesor, es
decir que si [pic] entonces [pic].
5. Si P es una propiedad tal que:
a. 0 tiene la propiedad P
b. Siempre que un numero n tiene la propiedad P implica que su sucesor
n+ también tiene la propiedad P, entonces todo número natural tiene la propiedad P.





1.2 Operaciones ypropiedades


A continuación se definen las operaciones aritméticas (adición y multiplicación) por recurrencia y se prueban sus propiedades fundamentales.


Definición 1. A cada par de números n, m, asignamos un único numero natural, llamado n + m, tal que:

i. n + 0 = n para todo n

ii. n + m+ = (n + m)+ para cada n y cada m.

n + m es llamado la suma de n y m, o el número obtenidopor la adición
de m a n.


Propiedad 1 (Modulativa de la adición)


Para todo número natural se cumple que:





n + 0 = 0 + n = n


Demostración. De la definición de suma se tiene que n + 0 = n. Por inducción para todo n, se tiene que 0 + n = n.

i. Para n = 0, se tiene que 0 + 0 = 0, ya que n + 0 = n para todo n.


ii. Suponemos valido que 0 + k = k, para todonumero natural k y debemos demostrar que se cumple para su sucesor k+. Pero esto también es inmediato de la segunda parte de la definición de la suma puesto que

0 + k+ = (0 + k)+ = k+

Por lo tanto la afirmación es valida para todo número natural n.


Propiedad 2 (Asociativa de la adición).

(m + n) + r = m + (n + r)

Demostración. Por inducción sobre r.

Para r = 0 se tiene que:(m + n) + 0 = m + n Por definición
= m + (n + 0) n + 0 = n por definición

Supongamos que para r = k se tiene que (m + n) + k = m + (n + k), debemos probar que (m + n) + k+ = m + (n + k+), pero esto es cierto puesto que:

(m + n) + k+ = ((m + n) + k)+ por definición de adición
= (m + (n + k))+ por hipótesis de inducción
= m + (n + k)+ por definición...