análisis dimensional

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An´
alisis dimensional

El an´alisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la
f´ısica, la qu´ımica y la ingenier´ıa para ganar comprensi´on de fen´omenos que
involucran una combinaci´on de diferentes cantidades f´ısicas. Es adem´as,
rutinariamente utilizada para verificar relaciones y c´alculos, as´ı como para
construir hip´otesis razonables sobre situacionescomplejas, que puedan ser
verificadas experimentalmente.
Uno de dichos usos est´a basado en el requerimiento de consistencia dimensional. Este requerimiento est´a relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando
se describen magnitudes mec´anicas, el conjunto de magnitudes que se utilice
puede ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes,
los consistentes y los noconsistentes. Se dir´a que un sistema de magnitudes
es consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:
[F ] = [M][A]
donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema pueda ser utilizado en la mec´anica, este debe ser consistente.
Los conceptos de unidad y magnitud est´an relacionados pero no son lo mismo:
en efecto, en la observaci´on de fen´omenos, cadacantidad f´ısica Rj , tendr´a
asociada unidades {Rj } –que indicaremos entre llaves– que representan cantidades de referencia de una magnitud, aceptadas por convenci´on. As´ı un
kilogramo (kg) corresponde a una cantidad de masa est´andar y patr´on o una
pulgada (in) corresponde con una longitud patr´on que puede representarse
por 2, 54 cent´ımetros (cm), otra unidad patr´on en otro sistema deunidades.
As´ı una cantidad f´ısica se representa, en un sistema de unidades como
Rj = v(Rj ){Rj },
donde v(Rj ) es un n´
umero real que representa el valor de dicha cantidad
expresada en unidades {Rj }. Si se desea utilizar otro sistema de unidades,
ˆ j = x−1 Rj que permita el cambio
debe disponerse de una relaci´on del tipo R
j
entre dichos sistemas. As´ı la misma cantidad f´ısica resultar´aˆ j } = vˆ(Rj ){R
ˆ j },
Rj = v(Rj )xj {R
vˆ(Rj )

donde el factor xj es el denominado factor de conversi´on.
Los sistemas de magnitudes se representan por s´ımbolos. Por ejemplo, [MLTΘ]
representan respectivamente masa, longitud, tiempo y temperatura. As´ı,
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siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene asociada la magnitud [V]; sin embargo, considerando el sistema [M,L,T,Θ] es posibleescribir que [V]=[L]/[T],
resultando que hay algunas magnitudes derivadas de otras, mediante una
combinaci´on de aquellos s´ımbolos elevados a alguna potencia.
Definici´
on 1 Sistema de magnitudes fundamentales
Se llama sistema de magnitudes fundamentales [F1 , · · · , Fm ] al conjunto de
menor cantidad de elementos que permite derivar todas las magntudes involucradas en un fen´omenos.
Elsistema [M,L,T,Θ] es un sistema fundamental de magnitudes para la
mec´anica. En este sistema, la fuerza tiene una magnitud derivada [M][L]/[T]2 .
Sin embargo, en virtud de la ley de Newton, ser´ıa posible definir un sistema
[F,L,T,Θ] de magnitudes fundamentales, en el cu´al la masa tendr´ıa una magnitud derivada [F][T]2 /[L]. As´ı, los sistemas de magnitudes fundamentales
son arbitrarios,pesando sobre ellos el u
´ nico requerimiento de consistencia
dimensional.
Propiedad 1
Las magnitudes que forman un sistema fundamental son independientes:
m

Fixi = 1 ⇒ xi = 0,

para i = 1, 2, · · · , m.

i=1

El conjunto de los s´ımbolos que definen un sistemas de magnitudes forman
un grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo
s´ımbolo –por ejemplo L– tienesu inverso –en este caso, L−1 . Adem´as, todo
s´ımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso
Definici´
on 2
Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente s´ımbolo
[Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales [F1 , · · · , Fm ], m < n, seg´
un
a

Mj = F1 1j · · · Fmamj ,
La matriz

para j = 1, · · · , n....