ANÁLISIS MATEMÁTICO Apunte de la materia V.1

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires
Departamento de ciencias básicas

ANÁLISIS MATEMÁTICO
II
Apunte de la materia V.1
F.E.P

(Actualizada al 25-08-12)

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

Nunca consideres el estudio como una obligación,
sino como una oportunidad para penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber.Comienza a manifestarse la madurez cuando
sentimos que nuestra preocupación es mayor por
los demás que por nosotros mismos.

Hay una fuerza motriz más poderosa que
el vapor, la electricidad y
la energía atómica: la voluntad.

Tengo una pregunta que a veces me tortura:
estoy loco yo o los locos son los demás.

Realizado por: Fernando (F.E.P)
www.UTNianos.com.ar

Página 2 de 80Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

APARTADO A
¿QUÉ TENGO QUE CONOCER?
En el primer apartado se desarrollan de forma abreviada los temas que el estudiante de
análisis matemático, de nivel dos, deberá conocer para entender los temas comprendidos
en el programa de la asignatura.

Temario a estudiar.






Recta en el espacio. Ecuaciones.
Plano.Ecuaciones.
Cónicas.
Cuádricas.
Sistema de ecuaciones.

Página 3 de 80

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

..::RECTA EN EL ESPACIO::..
Ecuación de la recta en el espacio:
x, y, z = x0 , y0 , z0 + τ(ax , ay , az )

En esta ecuación debemos tener en cuenta:
1 X0 = x0 , y0 , z0 es un punto perteneciente a la recta
2 t es un escalar.
3 A = ax , ay , az es elvector director de la recta.

Ecuación paramétrica de la recta en el espacio:
x = x0 + τ ∗ ax
y = y0 + τ ∗ ay
z = z0 + τ ∗ az
Nuevamente 𝑡 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟.
Ecuación segmentaria de la recta en el espacio:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
ax
ay
az

Página 4 de 80

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires
Interpretación geométrica de las rectas las cuales una de suscomponentes es nula. (1)

Interpretación geométrica de las rectas las cuales dos de sus componentes son nulas. (2)

(1)(2) Apuntes álgebra y geometría analítica – Prof: Leonor Carvajal.

Página 5 de 80

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

..::PLANO::..
Ecuación general o implícita del plano:

Ax + By + Cz + D = 0

En esta ecuación debemos tener en cuenta:1 A, B, C no simultaneamente nulas
2 n = nx , ny , nz = (A, B, C)
Ecuación paramétrica del plano:
x = x 0 + τ . a x + α . bx
y = y0 + τ . ay + α . by
z = z0 + τ . az + α . bz
En esta ecuación debemos tener en cuenta:
1 "𝜏" 𝑦 "𝛼" 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
Ecuación segmentaria de plano:
x y z
+ + =1
A B C
En esta ecuación debemos tener en cuenta:
1 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛,𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛, 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
2 𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝑠

Página 6 de 80

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires
Interpretación geométrica del plano con una componente nula (3)

Interpretación geométrica del plano con dos componentes nulas. (4)

(3)(4) Apuntes álgebra y geometría analítica – Prof: Leonor Carvajal.Página 7 de 80

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Buenos Aires

..::CÓNICAS::..
Circunferencia (5)
Sea (𝛼 𝑦 𝛽) un punto del plano y sea 𝑟 ∈ 𝑅 +.
El conjunto de puntos (x,y) del plano cuya
distancia al punto (𝛼 𝑦 𝛽) es r, se llama
circunferencia de centro (𝛼 𝑦 𝛽) y radio r. Tiene
por ecuación canónica:
x−α

2

+ y−β

2

= r2

Ecuaciones paramétricas
x = h +r cos⁡
(θ)
para 0 ≤ θ ≤ 2π
y = k + r sen(θ)

Elipse (6)
Dados en un plano dos puntos fijos llamados focos, se
llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano
tales que la suma de sus distancias a los focos es
constante. Esta constante se suele denotar 2a.

(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2

Ecuaciones paramétricas
x = h + a cos⁡
(θ)
para 0 ≤ θ ≤ 2π
y = k +...