Análisis Matemático Ii

UTN-FRLP

Análisis Matemático II

ANÁLISIS MATEMÁTICO II TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

TEMA: Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden CONOCIMIENTOS PREVIOS: Métodos de derivación e integración de funciones

I) Determinar el orden y el grado de las siguientes Ecuaciones Diferenciales: y' = x – 3 d2y d y b) +4+y=0 2 dx dx c) (y'' ) 3 + (y' ) 4 + 2y = x a)

d) y''' + 5 ( y'' ) 2 + y' = sen x e) y' + x = ( y – x y') 3 II) Expresar mediante una ecuación diferencial cada una de las siguientes situaciones a) La velocidad en que se convierten 100 gr. de azúcar en agua en dextrosa es proporcional a la cantidad que aún no se ha convertido. Expresar cómo una Ecuación Diferencial la velocidad de conversióndespués de t minutos. b) La pendiente de una curva en cada punto (x,y) es igual al doble de la suma de la coordenadas del punto. Hallar la Ecuación Diferencial que represente esta condición. III) Hallar la Ecuación Diferencial asociada con la solución general: a) x 2 y 4 = C b) y = A sen 3x + B cos 3x c) y = sen ( x + A )
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d) y = A e x + B IV) Verificarque las siguientes familias de funciones son soluciones de las
correspondientes ecuaciones diferenciales:

a) y = 4 x + C e x b) y = C 1 e x + C 2 e -x c) y = C 1 e x + C 2 e 2x + x

y' – y = 4 ( 1 – x ) y´´- y = 0 y´´ - 3 y’ + 2y = 2x – 3

V) Ecuaciones diferenciales de primer orden 1) Resolver mediante el método de variables separables

dy x 2 − 1 = dx y2 1 c) y´ = x2 + x2y2 3 e) 2.y.y´ +y´- 4.x = 3.x2 + 2
a)

b) y´ = 3. x2y d) 3.x.y dy + 4.y2dx = dx si y(0) = -1 si y(0) = 3 f) y´ = 2. y + 1 .cos x si y(π) = 0

g) dy – tgx.dx – y2.tgx.dx = 0

2) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: a) x 2 - y 2 = c e) x² + 2y² = c b) y 2 = cx f) x + 2y = c c) y2 = c x3 g) y = c e –2x d) x.y = c h) 3.x² + 3.y² = c

3) Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales exactas a) (cosx.cosy + 2x)dx – (senx.seny + 2y)dy = 0 b) (exy + x exy)dx + (x ex + 2)dy = 0 c)cosθdr + (eθ –r.senθ)dθ = 0 d) [2x + y2 – cos(x + y)]dx + [2xy - cos(x + y)- ey]dy = 0 4) Resolver las ecuaciones diferenciales lineales: a)
dy - y = e3x dx

si y(0) = -1

b) y´ + tgx. y = secx

c) x

dy + 2y = 5.x3 dx

d) y´- 5y = −

5 3 xy 2

e) y´ =

y 2 + 2xy x2

f)

dy +2y = xy -2 dx

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5) Resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas: a) y2 – x.y + x2.y´ = 0 c) b)(xy + x2 + y2)dx = x2dy

x 2 - y2 dy = 3.x.y dx

d) y´ =

y2 + x x 2 + y2 x.y

VI) Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes: 1) Resolver las ecuaciones diferenciales: a) y´´- 5y´+ 6y = 0 d) y´´+ y = 0 b) y´´- 5y´= 0 e) y´´+ 4y´ + 4y = 0 c) y´´- 2y´+ 5y = 0 f) y'' - y' - 6 y = 0

2) Resolver utilizando el método de los coeficientes indeterminados: a) y´´- y = -11x +1 d) y´´- y´- 12y = e4x g) y´´- 4y´+ 4y = x.e2x b) y´´+ y´ - 2y = x2– 2x + 3 e) y´´+ 2y´- 3y = 7cos(3x) h) y´´+ y = senx c) y´´- y´- 12y = e2x f) y´´- 5y´+ 6y = x.ex i) y´´+ 4y = senx - cosx

VII) Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales de segundo orden incompletas: a) 2.x.y´´- y´+ (y´) = 0
-1

d2y ⎛ dy ⎞ b) 2.y 2 = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠

2

c) 2.y´´= 2.x.ex + x2

VIII )Resolver de la manera más conveniente las siguientes ecuaciones diferenciales 1) (x² - y) dx - x dy = 0
3 Rta: xy = x + C 3

2) xy dx + (1 + x²) dy = 0 3) y'' - 3y' + 2 y = e²
4) y' + y = 2 + 2 x 5) y'' + 9 y = cosx 6) y'' + 2 y' + y = 0
x

Rta:y² (1 + x²) = C Rta: y = C1 e + C2 e
Rta: y = 2 x + C e-x Rta: y = C1cos3x + C2 sen 3x + Rta: y = C1.e-x + C2 .x .e-x
3
x 2x

x.e 2x + 12

1 cosx 8

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IX ) Aplicaciones 1) Un resorte de peso despreciable está suspendido verticalmente. En su extremo libre se ha sujetado una masa de m kilogramos. Si la masa se mueve con velocidad Vo [ m/seg ] cuando el...