Análisis Matemático Iii - Guía De Trabajos Prácticos - T.P. No 3 - Transformacion Conforme

Análisis Matemático III - Guía de Trabajos Prácticos - T.P. No 3
Transformación Conforme

T. P. No 3 - EJERCICIOS RESUELTOS
Enunciado
(A2) V.i) Resolver la ecuación de Laplace en el siguiente recinto y hallar líneas
equipotenciales y líneas de campo:
2i

y
P=0

P=1

i

x

Resolución
Resuelto por: Miguel Sadikoff (2° cuatrimestre de 2008)
Revisado por: Ariel Burman – Eduardo G.Murmis – Gustavo M. Murmis

Mediante una transformación conforme transformamos el recinto del enunciado
(Rec.1). en otro en el cual la resolución del problema sea más sencilla.
Primero restamos 2i para que ambas circunferencias pasen por el origen
(Rec.2).
Luego aplicamos una inversión y las dos circunferencias, dado que pasan por
el origen, se transforman en rectas que no pasan por elorigen. Para saber por
dónde pasan esas rectas analizamos el punto de la circunferencia más alejado
del origen. Por ejemplo, para la circunferencia de P=1 este punto es −2i . Al
hacer la inversión, éste se transforma en el punto de la recta más cercano al
i
origen, es decir en el punto . Como sólo existen dos potenciales el recinto se
2
transformó en un capacitor plano de placas paralelas(Rec.3).

y

z1

y

z

2i

w

v

x
P=0

P=1

z1 = z − 2i

i

⇒

x

(Rec.1)

P=0

P=1

w=

-i

1
z1

⇒

i

P=0

i/2

P=1

u

-2i

(Rec.2)

2009

(Rec.3)

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Transformación Conforme

Ahora escribimos w como función de z :
1
1
1
x − i ( y − 2)
x − i ( y − 2)=
⋅
=2
w = f ( z) = =
z1 z − 2i x + i ( y − 2) x − i ( y − 2) x + ( y − 2) 2
x
(2 − y )
+i 2
f ( z ) = u + iv = 2
2
x + ( y − 2)
x + ( y − 2) 2
u ( x, y ) =
v ( x, y ) =

x
x + ( y − 2) 2
2

(2 − y )
x + ( y − 2) 2
2

(1)

(2)

3
1
La ecuación de Laplace ∇ 2 P ( x, y ) = 0 en z − i < 1 ∩ z − i > se conserva a
2
2
través de una transformación conforme. Por lo tanto:∇ 2 P(u , v) = 0

Entonces ∇ 2 P(u , v) entre v =

1
∧ v = 1 es
2
Puu + Pvv = 0

Como en el capacitor plano las placas son paralelas al eje u (Rec.3) el
potencial no varía al variar el valor de u . Por lo tanto la derivada del potencial
con respecto a u es cero:
Pu = 0 ⇒ Puu = 0 ⇒ Pvv = 0 ⇒ Pv = A ⇒ P(u, v) = A ⋅ v + B
Usamos las condiciones de contorno para hallar los valores de Ay B:
v = 1 ⇒ P(u,1) = 0 = A ⋅1 + B ⇒ B = -A
1
1
1
A
v = ⇒ P(u , ) = 1 = A ⋅ -A ⇒ 1 = − ⇒ A = -2 ⇒ B = 2
2
2
2
2
P (u, v) = −2 ⋅ v + 2
Reemplazando v por la ecuación (2) hallamos la solución P ( x, y ) de la
ecuación de Laplace:
2− y
P ( x, y ) = −2 ⋅ 2
+2
x + ( y − 2) 2
Para hallar las líneas equipotenciales dejamos en un valor constante el
potencial P ( x, y ) = k = cte ∈ [0,1]

2009

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P ( x , y ) = k = −2 ⋅

2− y
x + ( y − 2)
2

2

+ 2 ⇒ 2 − k = 2⋅

2− y
x + ( y − 2) 2
2

⇒

2− y
4 − 2y
4
2y
⇒ x 2 + ( y − 2) 2 =
⇒ x 2 + ( y − 2) 2 =
−
⇒
2−k
2−k
2−k 2−k
2y
4
2y
4
⇒ x 2 + ( y − 2)2 +
=
⇒ x2 + y 2 − 4 y + 4 +
=
⇒
2−k 2−k
2−k2−k
2⎞
4
4
⎛
⎛ 4(2 − k ) − 2 ⎞
⇒ x2 + y 2 − y ⎜ 4 −
⇒ x2 + y 2 − y ⎜
⇒
⎟+4 =
⎟+4 =
2−k ⎠
2−k
2−k
2−k
⎝
⎝
⎠
4
4
⎛ 8 − 4k − 2 ⎞
⎛ 6 − 4k ⎞
⇒ x2 + y 2 − y ⎜
⇒ x2 + y 2 − y ⎜
⇒
⎟+4=
⎟+4=
2−k
2−k
⎝ 2−k ⎠
⎝ 2−k ⎠

⇒ x 2 + ( y − 2) 2 = 2 ⋅

2

2

⎡ ⎛ 3 − 2k ⎞ ⎤ ⎛ 3 − 2k ⎞
4
⇒ x + ⎢y −⎜
⇒
⎟⎥ − ⎜
⎟ +4=
2−k
⎣ ⎝ 2 − k ⎠⎦ ⎝ 2 − k ⎠
2

2

2

⎡ ⎛ 3 − 2k ⎞ ⎤4
⎛ 3 − 2k ⎞
⇒ x + ⎢y −⎜
−4+⎜
⎟⎥ =
⎟⇒
2−k
⎝ 2−k ⎠
⎣ ⎝ 2 − k ⎠⎦
2

2

2

⎡ ⎛ 3 − 2k ⎞ ⎤
4 − 4(2 − k ) ⎛ 3 − 2k ⎞
⇒ x + ⎢y −⎜
+⎜
⎟⎥ =
⎟⇒
2−k
⎝ 2−k ⎠
⎣ ⎝ 2 − k ⎠⎦
2

2

2

⎡ ⎛ 3 − 2k ⎞ ⎤
4k − 4 ⎛ 3 − 2k ⎞
⇒ x + ⎢y −⎜
+⎜
⎟⎥ =
⎟⇒
2−k ⎝ 2−k ⎠
⎣ ⎝ 2 − k ⎠⎦
2

2

⎡ ⎛ 3 − 2k ⎞ ⎤
(4k − 4)(2 − k ) + (3 − 2k ) 2
⇒ x + ⎢y −⎜
=
⇒
⎟⎥
(2 − k ) 2
⎣ ⎝ 2 − k ⎠⎦
2...