Análisis matemático I

Análisis matemático I
Martin
Tema: Limites
Límite de una función: el límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiende a un valor determinado.
Informalmente se diceque el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite enuna gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Se escribe:

Limites laterales:
Además del límite ordinarioen el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda.
El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de lasucesión:

El límite por la izquierda (cuando existe) es:

Para una función continua en c se tiene que
Distintos valores de límites:
3 = ( ) 3 =
Aquí podemos ver que el resultado nos da un número real yel cálculo finaliza ahí.
= = = ∞
Aquí el valor del límite tiende a ∞ ya que el numerador es un número real y el denominador es 0 por lo tanto ese resultado tiende a ∞.
= = = = 0
Aquí el valordel límite da 0 ya que el numerador es 0.
Limites indeterminados
;
=
= 2
En esta situación es un límite indeterminado del tipo por lo que debemos factorizar el numerador para salvar laindeterminación.
= =
Aplicamos Ruffini
1 0 0 1

-1 -1 1 -1

1 -1 1 0

= (-1)2 – (-1) +1 = 3
Aquí salvamos la indeterminación aplicando Ruffini
=
= =En este caso es un límite indeterminado y pueden ocurrir 3 situaciones distintas.
El límite es igual a un número porque el grado del numerador es igual al grado del denominador. Ese número...