Análisis Matemático

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

UNIDAD V

APLICACIONES DE LA DERIVADA
ESBOZO DE CURVAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA
ESBOZO DE CURVAS

5.1.

5.2.

El Signo de la Primera Derivada
5.1.1. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de
Funciones
5.1.2. Puntos Críticos de Primer Orden
5.1.3. Extremos Relativos y Absolutos
El Signo de la Segunda Derivada
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.

Intervalos de Concavidad deFunciones
Puntos Críticos de Segundo Orden
Puntos de Inflexión
El Criterio de la Segunda Derivada para la
Determinación de Extremos Relativos

5.3. Aplicaciones de la Optimización

EL SIGNO DE LA DERIVADA PRIMERA

C
C
L
L
A
A
S
S
E
E
11

5.1.

5.2.

El Signo de la Primera Derivada
5.1.1. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de
Funciones
5.1.2. Puntos Críticos de Primer Orden
5.1.3. ExtremosRelativos y Absolutos
El Signo de la Segunda Derivada
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.

Intervalos de Concavidad de Funciones
Puntos Críticos de Segundo Orden
Puntos de Inflexión
El Criterio de la Segunda Derivada para la
Determinación de Extremos Relativos

5.3. Aplicaciones de la Optimización

 ANALISIS

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
ESTUDIO
DIFERENCIAL

CLASE
1
ff ´(x)=0
´(x)=0
Dom
Dom ff
´(x)
´(x)Criterio
Criterio de
de la
la
Primera
Primera
Derivada
Derivada

Criterio
Criterio de
de la
la
Segunda
Segunda
Derivada
Derivada
Evaluamos
Evaluamos
f(x)
f(x) ext
ext relat
relat
yy ext
ext interv
interv
cerrado
cerrado

PUNTOS CRÍTICOS
DE PRIMER ORDEN

 

EXTREMOS
RELATIVOS e INT
CREC/DEC

EXTREMOS
ABSOLUTOS

Dom
Dom f(x)
f(x)

PUNTOS
CRÍTICOS DE
SEGUNDO
ORDEN

CLASE
2
f´f´ ´(x)=0
´(x)=0
Dom
Dom ff´´(x)
´´(x)

PUNTOS DE
INFLEXIÓN

Signo
Signo de
de la
la
1°y
1°y 2°
2°
derivada
derivada

 CONCAVIDAD
FUNCIÓN Y
CREC

Criterio
Criterio del
del
Signo
Signo de
de la
la
2°
2° Derivada
Derivada

OBJETIVOS DE ESTA CLASE

 Explicar los conceptos de funciones crecientes y
decrecientes.
 Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
funciones.
 Explicar los conceptos de máximos ymínimos relativos y
absolutos de funciones.
 Notar la diferencia entre un extremo relativo y un
extremo absoluto.
 Calcular los extremos relativos de una función.
 Aplicar la teoría de extremos relativos a problemas de
optimización.

Facebook comienza a cotizar en la
bolsa
Se estima recaudación de US$ 16 mil
millones, con un precio por acción de
US$38

RESOLVEREMOS PROBLEMAS, COMO POR EJEMPLO
La redsocial Facebook inició sus operaciones en la bolsa de Nueva
York a partir del viernes 18 de mayo de 2012, según informó el diario
Wall Street Journal en su edición digital. La compañía, propiedad de
Marc Zuckerberg adelantó que sus títulos cotizan en el índice
tecnológico Nasdaq bajo las siglas FB. Suponiendo que la Bolsa
funcionó todos los días del mes de noviembre, (30 días), y que
responde ala siguiente ley:

C(x) = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300

a)

Determina los períodos de tiempo en el que las acciones subieron
o bajaron.
b) Determina las cotizaciones máximas y mínimas, así como los días
en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

¿QUÉ APRENDIMOS EN LAS UNIDADES ANTERIORES
PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN?

EJEMPLO

y  x  1 3  x  1

Aplicando el procedimientoanterior a dicha función, se obtienen los
siguientes puntos:
 ,

 

y el

 

Con base en esos puntos, podríamos unirlos como lo muestra la
Figura 1 o como la Figura 2:

EJEMPLO

y  x  1 3  x  1

Para trazar una curva, la simple ubicación de
puntos puede no dar suficiente información acerca
de la misma.
De hecho la forma real de la curva es:

Podemos concluir que:
Si bien los elementos deun gráfico vistos hasta ahora
nos determinan puntos muy importantes de la gráfica,
estos no son suficientes.

EL SIGNO DE LA DERIVADA PRIMERA

En la Unidad
IV,
vimos que:

  Dada

la función

Su  Función derivada Primera
es:

En esta clase,
vamos a ver
que :

  SIGNO DE

 
INFORMACIÓN
SOBRE EL
COMPORTAMIENTO DE

 

EXTREMOS
RELATIVOS e INT
CREC/DEC

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE...