Análisis numérico de chimena de equilibrio

1. INTRODUCCIÓN 2
2. DESARROLLO DEL PROBLEMA 3
3. CONCLUSIONES E INCIDENCIAS 15
4. REFERENCIAS 16
ANEXO 17


ANÁLISIS DE LAS OSCILACIONES EN UNA CHIMENEA DE EQUILIBRIO CERRADA

1. INTRODUCCIÓN
El problema consistirá en estudiar las oscilaciones que se generan dentro de la chimenea de equilibrio en el ámbito de las presiones, cotas y caudales para instantes posteriores al cierresúbito y lento de la válvula. Dicho problema atendiendo a su no linealidad, asociada por un lado a la inclusión de las pérdidas de carga en la galería de presión (k distinto de cero) y por otro, a la ley de presiones relativas antes mencionada, hace inviable la obtención de una solución analítica exacta, de modo que es necesario utilizar técnicas numéricas de integración de EDO’s.
El problema se reducea la resolución de un sistema de EDO’s no lineales de primer orden que resolveremos utilizando técnicas numéricas de integración con ayuda del programa informático Matlab.
El sistema de ecuaciones que rige las oscilaciones del nivel de agua en la chimenea está formado por las siguientes expresiones (dinámica la primera y de continuidad de caudales la segunda):
[1]
[2]
donde:
L =Longitud de la galería de presión.
Ap =Área de la sección de la galería a presión.
Q(t) = Caudal que circula por la galería a presión.
Qtur(t) = Caudal turbinado.
g = Constante gravitatoria.
k = Coeficiente de pérdidas de carga en la galería de presión.
Ac = Área de la sección de la chimenea.
z(t) = Diferencia de cotas existente entre el nivel de agua en la chimenea y el nivel del embalse queabastece la central (>0).
p(t) = Cota de presión relativa del colchón de aire.
A estas ecuaciones se le deben imponer las siguientes condiciones iniciales:
[3]
Se facilita, además, la ecuación que rige el comportamiento del colchón de aire bajo una serie de hipótesis, considerando un gas perfecto y que el proceso de compresión y expansión del colchón se rige por la ecuación politrópica:[4]
donde:
Patm= altura de presión atmosférica
P0= altura de presión relativa inicial del colchón
V0=volumen de aire inicial
= exponente semiempírico
La no linealidad del problema de valores iniciales planteado, asociado por un lado a la inclusión de las pérdidas de carga en la galería de presión (k≠0) y por otro, a la ley de presiones relativa (4), hace inviable la obtención de unasolución analítica exacta, de modo que es necesario utilizar técnicas numéricas de integración.

2. DESARROLLO DEL PROBLEMA
2.1 Determinar y representar gráficamente cómo evolucionan en el tiempo el caudal Q(t) que circula por la galería de presión, la cota z(t) del nivel del agua en la chimenea y la altura de presión p(t) del colchón de aire durante 15 minutos a partir del cierre súbito de laválvula de admisión de la turbina. El caudal que circula inicialmente por la galería de presión es Q0=30 m3/s. Los datos particulares de la instalación de estudió son:

Parámetro Valor Parámetro Valor
L 18805 m Ac 780 m2
Ap 20,5 m2 Vo 5000 m3
k 0,011 s2/m5 p0 406,40 m
z0 416,55 m  1,2
patm 10,3 m g 9,81 m/s2
Tabla 1. Datos del enunciado.
Según los resultados publicados porChaudhry et al. (1985), la cota de presión relativa máxima del colchón de aire se registra para t = 45 s y la cota del nivel de agua en ese instante es z = 415,32 m mientras que la altura de presión mínima se registra para t = 140 s y la cota correspondiente del nivel de agua es z = 417,32 m. Estos valores pueden utilizarse como referencia para validar resultados numéricos obtenidos.
Para solucionar elproblema de valores iniciales podemos utilizar diferentes técnicas numéricas. Una de ellas consiste en integrar la EDO y evaluarla mediante cuadraturas numéricas. Estos son los Métodos Runge Kutta de paso simple. Dentro de éstos se ha decidido utilizar un método de Runge Kutta óptimo de orden cuatro en concreto el llamado “Método de Runge de 4º orden” pues es el que proporciona un mayor...