análisis numerico




DESARROLLO DE LOS METODOS:

SECANTE
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f (x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regula falsa salvo por undetalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.
Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.
Loque hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.











Fig. 1. Representación grafica del método de la secante



Una forma de evitar el cálculo de f ' (x) consisteen considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)



Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:Fig. 2. Representación geométrica de
Las iteraciones al aplicar el método de la secante

La sucesión queda expresada en términos generales como:




A partir de ciertos valores X0 y 1 dados, el algoritmo deberá parar cuando


Sea menor que la precisión requerida.Obviamente para poder arrancar el método se necesita de dos valores iníciales.
Forma de hacerlo:
Primero hay que definir algunos conceptos como:

Xn Es el valor actual de X
Xn-1 Es el valor anterior de X
Xn+1 Es el valor siguiente de X

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sinoque solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz.

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C.
Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C).
Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene elpunto B con la fórmula



A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se
Simplifica la formula para seguir con el método.
Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de






MÉTODO DE BIRSTOW

El método de Birstow es un esquema iterativo para encontrar un factorcuadrático de u polinomio en cada aplicación sin que se tenga ningún conocimiento previo. Al aplicar varias veces el método de Birstow a los polinomios reducidos, se pueden calcular todos los factores cuadráticos de un polinomio.
Las raíces complejas siempre aparecen en parejas de complejos conjugados. Si un factor cuadrático Así se puede resolver las raíces de un polinomio, sin utilizar variablescomplejas.
Una desventaja del método de Birstow es que la precisión de los resultados suele ser pobre, por lo que la precisión de las raíces calculadas de verificar o mejorar por algún otro método.
Cualquier polinomio de orden N puede ser escrito como:

Se puede reescribir en la forma

Dónde:
p y q -> son valores arbitrarios.
G(x) -> es un polinomio de orden N-2.
R(x) ->es un residuo...