Análisis real- calculo

An´lisis Real: Primer Curso
a
Ricardo A. S´enz
a

´
Indice general

Introducci´n
o
Cap´
ıtulo 1.
§1.

§2.

§3.

v
Espacios M´tricos
e

M´tricas
e

1

M´tricas en espacios vectoriales
e

4

Topolog´
ıa

9

Ejercicios
Cap´
ıtulo 2.
§1.

§2.

§3.

§4.

§5.

16
Sucesiones y convergencia

21

Sucesiones de Cauchy y completitud

25

Espaciosvectoriales completos

29

Convergencia de series

35

La completitud de un espacio m´trico
e

37

Cap´
ıtulo 3.
§2.

§3.

§4.

40
Espacios compactos

43

Cubiertas

43

Compacidad

45

El teorema de Bolzano-Weierstrass

48

Compacidad en espacios de Banach

52

Ejercicios
Cap´
ıtulo 4.
§1.

21

Definiciones

Ejercicios

§1.

1

56
Elespacio de funciones continuas

Funciones continuas

57
57
iii

´
Indice general

iv

§2.

§3.

§4.

El espacio C (X, Y )

65

El teorema de Arzel`-Ascoli
a

69

El teorema de Stone-Weierstrass

76

Ejercicios
Cap´
ıtulo 5.
§1.

§2.

§3.

84
Espacios conexos

Conexidad

87

Conexidad por trayectorias

89

Componentes conexas

92

Ejercicios
Cap´ıtulo 6.
§1.

§2.

§3.

87

93
Espacios completos

95

El teorema de Cantor

95

El teorema de Baire

98

Consecuencias del teorema de Baire

Ejercicios
Cap´
ıtulo 7.

100
106

Ecuaciones diferenciales ordinarias

107

§1.

Problema de Valor Inicial

107

El teorema de contracci´n
o

108

§3.

Existencia y unicidad de soluciones

109

§2.Ejercicios

112

Bibliograf´
ıa

113

Introducci´n
o

Estas notas presentan una introducci´n b´sica al an´lisis real, basada
o
a
a
en el estudio de espacios m´tricos y aplicaciones. En particular, hacemos un
e
estudio extenso de la idea de completitud en un espacio m´trico.
e
Dos conceptos fundamentales son la base de este estudio: m´trica y come
pletitud. Una m´trica es unafunci´n que establece distancias entre los obe
o
jetos de un espacio. Las propiedades que definen una m´trica son aqu´llas
e
e
que uno espera de una distancia: positividad, simetr´ y la desigualdad del
ıa,
tri´ngulo, la cual garantiza que la distancia entre dos puntos es menor que
a
la suma de las distancias de ´stos a otro punto en com´ n.
e
u
Por medio de una m´trica uno puede medir la“cercan´ dentro un
e
ıa”
espacio desde el punto de vista anal´
ıtico, es decir, establecer cu´les son las
a
sucesiones convergentes. Esto nos lleva de manera natural a continuidad y
al estudio de la topolog´ de un espacio.
ıa
Completitud es la propiedad que garantiza que las sucesiones cuyos
t´rminos se acercan entre s´ son convergentes. En t´rminos generales esto
e
ı
e
significa quenuestro espacio no tiene “agujeros”.
En el cap´
ıtulo 1 se define el concepto de m´trica, y se estudia de manera
e
b´sica la topolog´ inducida por un m´trica. De manera un tanto m´s detala
ıa
e
a
lada se estudian m´tricas inducidas por normas (magnitudes de vectores) o
e
por productos internos.
En el cap´
ıtulo 2 se estudia la convergencia de una sucesi´n, y se introduce
o
la idea decompletitud. Tmabi´n se estudian algunas aplicaciones de estas
e
ideas a espacios vectoriales normados, como la convergencia de series, ya sea
de manera absoluta o condicional. Se demuestra, por ejemplo, el teorema de

v

Introducci´n
o

vi

Dirichlet. Al final, demostramos que si un espacio m´trico no es completo,
e
entonces puede ser encajado un espacio m´trico completo.
e
La ideade compacidad fue descubierta por Heine en su estudio de funciones uniformemente continuas. Compacidad tambi´n garantiza la existene
cia de m´ximos y m´
a
ınimos de una funci´n continua, por lo que su estudio
o
es b´sico en an´lisis. En el cap´
a
a
ıtulo 3 estudiamos estos conceptos en detalle, y demostraremos el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual clasifica
a los conjuntos...