An Lisis Matem Tico I

An´
alisis de una variable real I

Tijani Pakhrou

´Indice general
1. Introducci´
on axiom´
atica de los n´
umeros
1.1. N´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Definici´on de la suma y del producto . . . . .
1.1.3. Axiomas de la suma y del producto . . . . . .
1.1.4. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. N´
umeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Definici´on de los n´
umeros enteros . . . . . . .
1.2.2. Definici´on de la suma y del producto . . . . .
1.2.3. Propiedades de la suma y del producto . . . .
1.2.4. Ordenaci´on de los enteros . . . . . . . . . . .
1.3. N´
umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definici´on de los n´
umeros racionales . . .. . .
1.3.2. Propiedades de la suma y del producto . . . .
1.3.3. Ordenaci´on de los n´
umeros racionales . . . . .
1.4. Axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Supremo, ´ınfimo, m´aximo y m´ınimo . . . . . . . . . .
1.7. Car´acter “incompleto” de Q . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Axioma del supremo . . . . . . .. . . . . . . . . . .
1.9. N´
umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Propiedad arquimediana de los n´
umeros reales
1.9.2. Parte entera de un n´
umero real . . . . . . . .
1.9.3. Densidad de Q en R . . . . . . . . . . . . . .
1.10. N´
umeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1. Existencia de ra´ıces cuadradas . . . . . . . . .
1.10.2. Densidad de I en R. . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12. Valor absoluto de un n´
umero real . . . . . . . . . . .
1.13. Principio de Inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

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1.13.1. Primera versi´on del principio de inducci´on . . . . . . . . . . . 28
1.13.2. Segunda versi´on del principio de inducci´on . . . . . . . . . . . 30
1.14. Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Sucesiones de n´
umeros reales
2.1. Definiciones y terminolog´ıa . . . . . . .
2.1.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . .2.1.2. Sucesiones mon´otonas . . . . .
2.1.3. Subsucesiones . . . . . . . . . .
2.2. L´ımite de una sucesi´on. Convergencia .
2.3. Propiedades elementales de los l´ımites .
2.4. L´ımites y desigualdades . . . . . . . .
2.5. Teorema de los intervalos encajados . .
2.6. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . .
2.7. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . .
2.8. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . ..
2.9. Criterios para el c´alculo de l´ımites . . .

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3. Funciones de una variable real
3.1. Topolog´ıa de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Puntos interiores . . . . . . . . . . . . ..
3.1.3. Puntos adherentes . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Puntos de acumulaci´on . . . . . . . . . . .
3.1.6. Algunas relaciones . . . . . . . . . . . . .
3.1.7. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . .
3.2. Aplicaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Correspondencias y aplicaciones . . . . . .
3.2.2. Tipos de aplicaciones ....