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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Ejercicios de An´
alisis I

Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela
Febrero 2005

Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´alisis
Escuela de Matem´aticaFacultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg

Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.

PROBLEMARIO
Pr´actica 1.
N´
umeros reales.

1

Topolog´ıade la recta.

4

Sucesiones.

7

Pr´actica 2.
Pr´actica 3.
Pr´actica 4.
L´ımites y continuidad.

11

Derivadas.

16

Integrales.

23

Series Num´ericas.

27

Sucesiones y series de funciones.

31

Integrales impropias.

36

Pr´actica 5.
Pr´actica 6.
Pr´actica 7.
Pr´actica 8.
Pr´actica 9.

Bibliograf´ıa

37

iii

´
PRACTICA
1.

´
NUMEROS
REALES.

1

Pr´
actica 1.
N´
umeros reales.
(1) Demostrarlas siguientes afirmaciones (x e y denotan n´
umeros reales):
(a) Si a x = a para alg´
un n´
umero real a = 0 entonces x = 1.
(b) x2 − y 2 = (x − y) (x + y).
(c) Si x2 = y 2 entonces x = y ´o x = −y.
(d) Si n es un n´
umero natural entonces
xn − y n = (x − y) (xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 )
(e) Si n es un n´
umero impar y xn = y n entonces x = y.
(f) Si n es un n´
umero par y xn = y nentonces x = y ´o x = −y.
(2) Encontrar el error en la siguiente “demostraci´on”.
Sean x e y n´
umeros reales. Supongamos x = y. Entonces
x2 = y 2
x2 − y 2 = x y − y 2
(x + y) (x − y) = y (x − y)
x+y =y
2y = y
Si tomamos x = y = 1 obtenemos 2 = 1.
(3) Demostrar que si a, b, c, d son n´
umeros reales y b, d = 0 entonces
a c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
(4) El m´aximo de dos n´
umeros reales x e y se denota pormax(x, y) y el m´ınimo por
min(x, y) . Demostrar:
x + y + |y − x|
,
2
x + y − |y − x|
.
min(x, y) =
2

max(x, y) =

(5) Demostrar que no existe ning´
un n´
umero racional de cuadrado igual a 2.

2

PROBLEMARIO

(6) Demostrar que la suma de un n´
umero racional y un n´
umero irracional es un n´
umero
irracional.
(7) ¿Es la suma de n´
umeros irracionales un n´
umero irracional?
(8) Demostrar queel producto de un n´
umero racional no nulo por un n´
umero irracional
es un n´
umero irracional.
(9) ¿Es el producto de n´
umeros irracionales un n´
umero irracional?
(10) Demostrar que existe un u
´nico n´
umero real positivo cuyo cuadrado es igual a 2.
Indicaci´on: Considerar el conjunto
A = {x ∈ R : x2 < 2},
demostrar que A es acotado y que si a = sup A entonces a2 = 2.
(11) Utilizar la mismaidea del ejercicio anterior para demostrar que si n es par y a > 0
entonces a tiene una u
´nica ra´ız n-´esima positiva. Enunciar y demostrar el resultado
correspondiente para n impar.
Tal como veremos m´as adelante, el Teorema ?? permite dar una demostraci´on
sencilla de este resultado.
(12) Demostrar que

√

2+

√

3 es un n´
umero irracional.

(13) Demostrar que si x e y son n´
umeros realesentonces
(a) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
(b) |x y| = |x| |y|.
(c)

1
1
=
, si x = 0.
x
|x|

(d)

|x|
x
=
, si y = 0.
y
|y|

(e) |x − y| ≤ |x| + |y|.
(f) |x| − |y| ≤ |x − y|.

´
PRACTICA
1.

´
NUMEROS
REALES.

3

(14) Demostrar las siguientes afirmaciones (a, b, c y d denotan n´
umeros reales).
(a) Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
(b) Si a < b entonces −b < −a.
(c) Si a < b y c > d entonces a − c< b − d.
(d) Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c.
(e) Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c.
(f) Si a > 1 entonces a2 > a.
(g) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.
(h) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d entonces a · c < b · d.
(i) Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2 .
(j) Si a, b ≥ 0 y a2 < b2 entonces a < b.
(k) Si a > 0 entonces a−1 > 0.
(15) Demostrar que la uni´on de dos conjuntos numerables es numerable...