Analis matematico

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TRABAJO PRÁCTICO 8
ECUACIÓN DE LA RECTA

Dados m , b   const ant es, y  mx  b defi ne l a e cu aci ón de l a rect a . Donde m represent a l a pen di en t e de l a rect a y b l a orden ad a al ori gen Pen di en t e de l a R ec t a Sean dos puntos P1 = (x1, y1) y P2= (x2, y2) de una recta siendo x1 ≠ x2 .La pendiente de la recta es:m

y 2  y1 x2  x1

De la figura anterior se puede concluir que la pendiente de la recta está determinada por el cociente entre la variación de y y la variación de x. La pendiente m mide la inclinación de la recta respecto del eje x. a partir del ángulo α que forma la recta con el eje x podemos calcular la pendiente.

m  tg 

y2  y1 x2  x1

Alicia Fraquelli de Fileni -AndreaGache

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Si el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las x es agudo, la pendiente es positiva (m > 0) y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las x es obtuso, la pendiente es negativa (m < 0 ) y decrece al crecer el ángulo.

No se define la pendiente de una rectavertical, pues dos puntos cualesquiera sobre una recta de este tipo tienen x1  x 2 . El denom i nador de la y 2  y1 ex presi ón m  es c ero x2  x1 y l a m i sm a no est á d efi ni da.

Si la recta es horizontal, dos puntos cualesquiera de ella tiene y1 = y2, por lo tanto la pendiente es nula ( m= 0).

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Podemos resumir lo anterior en el siguiente cuadro:

Pendiente positiva negativa cero no definida

Tipo de recta Recta ascendente de izquierda a derecha Recta descendente de izquierda a derecha Recta horizontal Recta vertical

E cu aci ón de l a R ect a dada l a pen di en t e y u n pu n t o Conocida la pendiente m de la recta y un punto P1 de la misma de coordenadas x1 , y1 , si P = (x, y) es cualquier otro punto de la misma, entonces la pendiente de la recta está dada por:

y  y1 m  x  x1

y  y1  m x  x1 

A esta forma de expresar la ecuación de la recta se la denomina punto-pendiente. Ejemplo:  Hallar la ecuación de la recta que pasa por P1= (1, 5) y tiene pendiente m =2.

 m  2 Datos   P1  1 , 5

y  y1  m x  x1   y  5  2 ( x 1)

 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 1) y tiene una inclinación de 45º.

 m  tg 45   1  Datos  P  3,1 1   y  y1  m x  x1   y   1  1 ( x  3)  y  1  x  3

Alicia Fraquelli de Fileni -Andrea Gache

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Haz de rectas concurrentes en un punto Un haz de rectas concurrentes enun punto fijo P =(x1, y1) es el conjunto de todas las rectas que pasan por dicho punto. Teniendo en cuenta la ecuación punto-pendiente de la recta, la ecuación del haz de rectas concurrentes en P será:

y  y1  m x  x1  con m  
Donde m es la pendiente y pertenece al conjunto de los números reales. Al variar la pendiente m, conseguimos el haz de rectas concurrente en el punto P. Ejemplo:Hallar el haz de rectas concurrente en el punto de coordenadas (2, 4)

y  4  m x  2 con m  
Si m  1  y  1 x  2  4  y   x  6 Si m  2  y  2 x  2  4  y  2 x Si m 
1 2 y 1 x  2  4  y  1 x  3 2 2

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E cu aci ón E xpl í ci t a de l a R ect a Despejando yen la ecuación forma punto-pendiente de la recta:

y  y1  m x  x1   y  m ( x  x1 )  y1  mx  mx1  y1
b Llamando b  mx1  y1 , resulta:
y  mx  b

Ésta es la llamada ecuación explícita de la recta. Al número b se lo llama ordenada al origen de la recta, dado que si x = 0, reemplazando en la ecuación y = mx +b , resulta y = m · 0 + b = b, por tanto, la recta pasa por el punto...