Analisais

UNPA – UART – 51
Carrera: Tecnicatura en Recursos Naturales Renovables.
Asignatura: Matemática I
Prof. Mag. Isabel Isaya
Unidad 2

ANALISIS COMBINATORIO

COMBINATORIA
La Combinatoria estudia los diferentes modos en que se puede ordenar o agrupar
los elementos de un conjunto según leyes diversas, con el objeto de establecer
fórmulas que permitan calcular el número de ordenaciones ogrupos que puedan
formarse.
Principio Fundamental del Conteo
Suponga que tres carreteras principales unen la población A con la población B y
dos carreteras principales unen la población B con la población C.
a. Determine el número de formas de realizar un viaje de la población A a la

población C pasando por la población B.
b. Confirme (a) directamente, exhibiendo todas las rutas posibles.Solución:
Como existen tres formas de realizar la primera tarea (ir de la población A a la
B) seguidas por dos formas de efectuar la segunda tarea (ir de la población B a
la C), el principio fundamental del conteo dice que existen 3 • 2, ó 6, formas de
ir de la población A a la población C pasando por B.

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Asignatura:Matemática I
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Unidad 2

a. Los caminos que unen la población A con B se etiquetan con los números

romanos I, II y III, y los caminos de B a C, con las minúsculas a y b. La
figura 1 muestra un esquema de esto.
FIGURA 1
Caminos de A a C

I
II

a
B
C

A

III

b

Las rutas de C pasando por B se pueden exhibir mediante un diagrama de árbol
(Fig. 2). Sise siguen todas las ramas desde el punto inicial A hasta la orilla derecha
del árbol, se obtienen las seis rutas representadas por los seis pares ordenados.

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Asignatura: Matemática I
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Unidad 2
FIGURA 2
Diagrama de árbol que
muestra las posibles rutas
de la población A a la C.

B

CResultados
combinados

a

II

III

(I, b)

a

(II, a)

a

A

b

b

I

(I, a)

(II, b)
(III, a)

b

(III, b)

(I, a), (I, b), (II, a), (II, b), (III, a), (III, b)
donde (I, a) significa que el viaje de A a B se realiza sobre el camino I y el resto del
viaje, de B a C, se completa sobre el camino a, etcétera.

EJEMPLO 2
Para la comida en un bar, se puede elegirentre seis variedades de pasta y 28
opciones de salsa. ¿Cuántas combinaciones existen con una variedad de pasta y un
tipo de salsa?

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Solución:
Hay seis formas de elegir una pasta, seguidas de 28 formas de elegir una salsa, de
modo que por el principiofundamental del conteo, existen 6 • 28, o 168,
combinaciones de este platillo de pasta.
La generalización del razonamiento seguido en los ejemplos anteriores conduce al
enunciado del “Principio Fundamental del Conteo”, que damos a continuación:

Principio fundamental del conteo:
Si un evento puede ocurrir en m formas diferentes, y si, después que ha
ocurrido en una de estas formas, un segundoevento puede presentarse en n
diferentes formas, entonces ambos eventos pueden ocurrir, en el orden
indicado, es decir, según m • n distintas formas.
Ahora se ilustrará la aplicación del principio fundamental del conteo a varias
situaciones.
EJEMPLO 3

Una moneda se lanza tres veces y se registra la serie de caras y sellos.
a. Utilizar el principio fundamental del conteo para determinar elnúmero de
resultados de esta actividad.
b. Exhibir todas las secuencias por medio de un diagrama de árbol.

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Solución:
a. La moneda puede caer de dos formas; por lo tanto, en tres lanzamientos, el
número
de resultados (secuencias) está dado por 2 x 2 x 2;...