Analisi vectorial

Problemas resueltos Capítulos 2, 3, 4, 5. Texto: ANALISIS VECTORIAL Autor: MURRAY R. SPIEGEL Editorial: Mc- Graw Hill *Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve introduccion a los mismos. Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran. (Palabras repetidas hallar demostar).* Problemas Capitulo 2 Ejercicios: 1.Demostrar que A  B  B A Solución: A  B  AB cos   BA cos   B  A Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa 2.Demostrar que A  B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el valor unitario en la dirección y sentido de B (FIGURA)

Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquel en los puntos G y H , respctivamente,por lo tanto. Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH  EF  A cos   A  b 3.-(Lleva figura) Demostrar que A  B  C  A  B  A  C Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A  proyección de C sobre A BC a  BaCa Multiplicando por A. B  C  Aa  B  Aa  C  Aa y BC A  BACA Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar A BC  ABACLuego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma 4.-Demostrar que A  B  C  D  A  C  A  D  B  C  B  D del problema 3, AB  CD  A CD B CD  ACADBCBD luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria. 5.Hallar los escalares siguientes: a b c d e 6.O O O O i  i  i i cos 0  1 1 1  1 O O O O j  k  j k cos 90  1 1 0  0 OO O O k  j  k j cos 90  1 1 0  0 O O O O O O j  2i 3 j  kk  2j  i 3 i  i  j  k  0 3  O O O O O O O O O O O O 2i j  3i  k  6i  i  2i  k 3j  i j  k  6  0

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O O O O O Si A  A 1 i  A  j  AK y B  B  i  B  j  B  k, demostrar que A  B  A1B1  A2B2  A3B3 O O O O O O A  B  A1 i  A2 j  A3 k  B1 i B2 j B3 k O O O O O O  A 1 i B 1 i  A 2 j B 2 j  AO kB3 k 3 O O  i A1B1  j A2B2  k A3B3  A 1 B 1  A 2 B 2  A 3 BO O O O O O 3 Ya que i  i  j  j  k  k  1 y todos los demas productos escalares son nulos O O O 7.-Siendo A  A i  A 2 j  A 3 k, demostrar que A  A  A  A 2  A 2  A 2 2 3 A  A  A A cos 0  A 2  luego O  A  A A O O O O O Tambien, A  A  A 1 i  A 2 j  A 3 k A1 i  A2 j  A3 k  A1 A1  A2 A2  A3 A3  A2  A2  A2 12 3 Del problema 6 tomamos B  A Por lo tanto, A  A  A  A 2  A 2  A 2 es le modelo de A 1 2 3 8.O O O O O O Hallar el angulo formado por los vectores A  2 i  2 j  2 k y B  6 i 3 j  2 k A  B  AB cos , A  2 2  2 2  1 2  3, B  6 2  3 2  2 2  7 A  B  2 6  2 3  1 2  12 6 2  4 4 Por lo tanto, cos  AB  3 4 7  21  0. 1905 de donde   79 , aproximadamente AB 9.Si A  B  0,A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B Si A  B  AB cos   0, entonces cos   0, 0 sin   90 aproximadamente;   90 ; A  B  0 10.O O O O O O Hallar el valor de ade forma que A  2 i  a j  k y B  4 i 2 j 2 k sean perpendiculares. Del problema 9, A y B son perpendiculares si A  B  0 Por lo tanto, A  B  2 4  0 2  1 2  8 2a 2  0, de donde, a es igual a 3. 2a 8  2 a 6 2 a3 11.O Demostrar que los vectores A  3 i triangulo rectángulo O O O 2 j  k, B  i O O O O 3 j  5 k, C  2 i  j O 4 k forman un

(GRÁFICA)

Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1 y 2 b La resultante de los vectores 1  2  3 es el vector nulo. Comoindican las figuras, pueden ocurrir que dos vectores tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial que A  B  C y, por lo tanto, los vectores forman un triangulo. Como A  B  3 1  2 3  1 5  14, A  C  3 2  2 1  1 4  0, y B  C  1 2  3 1  5 4  21, se deduce que A y C son perpendiculares y que ...................................

12.O O O...