Analisis adimencional

El Teorema Pi y la modelaci´n o
Luis Quintanar Medina Instituto Superior de Matem´tica (INSUMA) a Aguascalientes, Ags.

Magnitudes, unidades y dimensiones
Para describir los fen´menos que nos rodean es necesario determinar o primero las magnitudes que pueden ser utiles, aqu´llas que tienen una in´ e fluencia primordial en su desarrollo; despu´s nos interesa conocer relaciones e entre ellas oleyes. Tales relaciones pueden obtenerse directamente de forma experimental o partiendo de alguna teor´ conocida; otra forma consiste en establecer una ıa relaci´n tentativa (que despu´s habr´ de comprobarse o desecharse con ayuda o e a del experimento) usando el llamado Teorema Pi de Buckingham, que es el caso que nos interesa; este t´pico pertenece al an´lisis dimensional, con el o a cual selogra completar un an´lisis matem´tico de los problemas que surgen a a en la realidad y reducir costos de experimentaci´n; esta t´cnica es muy util o e ´ en problemas que surgen en mec´nica, en particular la de fluidos. a Las magnitudes como la velocidad, densidad, etc. se expresan en ciertas kg unidades, como metros por segundo m , kilogramo por metro c´bico m3 , etc. u s Por otra parte, en mec´nicatenemos tres dimensiones importantes: lona gitud (L), masa (M ) y tiempo (T ), que se expresan en unidades como metro, kilogramo y segundo, respectivamente; una magnitud f´ ısica como la velociL m dad se puede expresar en metros por segundo ( s ) y en dimensiones como T o L1 T −1 . Representaremos las dimensiones de una magnitud con par´ntesis cuadrae dos [ ], por ejemplo, si usamos la letra v parareferirnos a la magnitud velocidad, [v]=L1 T −1 ; en general, si tenemos n magnitudes qi , se pueden escribir a a ami sus dimensiones como [qi ]=D1 1i D2 2i . . . , Dm , i = 1, 2, . . . , n., en donde los 29

Revista del Depto. Mat. y F´ UAA ıs.

30

Dj , j = 1, 2, . . . , m representan alguna dimensi´n, como L, M o T ; en esta o 1 −1 0 notaci´n [v] = L T M . o Si [qi ] = 1 se dice que qies adimensional; esto supone que los aij = 0 ∀i, j.

Independencia de las unidades
Una ley ser´ una relaci´n entre las magnitudes que describen un fen´meno; a o o por ejemplo, la ley entre las magnitudes velocidad (v), aceleraci´n (para el o caso de aceleraci´n, a, constante) y tiempo (t) del movimiento rectil´ o ıneo de un objeto considerado como un punto es v = v0 + at, en donde v0 representala velocidad inicial. La expresi´n anterior se puede escribir como o v − v0 − at = 0 o, en forma m´s general, como a f (v, v0, a, t) = 0. Consideremos lo siguiente: si sabemos que se cumple la ley v = v0 + at m para cuando la velocidad se est´ expresando en m , la aceleraci´n en s2 y a o s el tiempo en segundos, ¿se cumplir´ la misma ley entre estas magnitudes a si la velocidad, la aceleraci´n yel tiempo se expresaran en otras unidades, o cm cm digamos, respectivamente, s , s2 , s? Si es as´ se dice que la ley es libre de unidades (unit free): ı, La ley f´ ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) es libre de unidades si para todos los reales λ1 , λ2 , . . . , λm con λi > 0, i = 1, 2, . . . , m, tenemos f (q 1 , q 2 , . . . , q n ) = 0 ⇔ f (q1 , q2, . . . , qn ) = 0 con q j = λ1q λb2 . . . , λbmqj . 2 m
b

Revista del Depto. Mat. y F´ UAA ıs.

31

El Teorema Pi
El teorema Pi dice lo siguiente: 1. Sea la ley f´ ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) = 0, libre de unidades, en donde q1 , q2 , . . . , qn son magnitudes dimensionales. 2. Sea L1, L2 , . . . , Lm , m < n, dimensiones b´sicas y a
a [qi ] = L11i La2i . . . , Lami , i = 1, 2, . . . , n. 2 m

3. Si a11  a21  . A= .  .am1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  a1n  .   .   .   . amn

es una matriz mxn de rango r. ENTONCES a) Existen n − r cantidades adimensionales Π1, Π2, . . . , Πn−r independientes que pueden formarse con las q1 , q2 , . . . , qn . b) La ley f´ ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) = 0 es equivalente a F (Π1, Π2, . . . , Πn−r ) = 0. En esencia, el teorema expresa que es...