Analisis Combinatorio

ANALISIS COMBINATORIO.

TEOREMA FUNDAMENTAL:
Si un suceso puede tener lugar de m maneras distintas y cuando ocurre una de ellas se puede realizar otro suceso inmediatamente de n formas diferentes, ambos sucesos, sucesivamente, pueden ocurrir de m•n maneras distintas.
Por ejemplo: si hay 3 candidatos para la presidencia y 5 para vicepresidencia, existen3•5=15 parejas distintas de presidente y vicepresidente.
NOTACION FACTORIAL:
Las identidades siguientes muestran el significado de factorial n escrito n!
5!= 1•2•3•4•5 = 120
6!= 1•2•3•4•5•6 = 720
n!= 1•2•3•4...n
0!=1 por definición.

I VARIACIONES.
Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r a la vez se denota por medio de:



Ejemplo: Una personadesea hacer una apuesta y selecciona los tres primeros lugares al finalizar la carrera. Si en ella participan 8 caballos, ¿Cuántas ordenaciones existen para los tres primeros caballos? (Suponiendo que no haya empate).




II PERMUTACIONES.
La permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de elementos, es decir de n elementos se ordenan los n elementos cadavez. Suponga que se tienen números: { 1,2,3 }. Una permutación de ellos es 123, otra es 321, he aquí todas las ordenaciones que pueden formarse con ellos:123, 132, 213, 231, 312, 321.
El número de permutaciones de n elementos diferentes tomados n a la vez, se denota mediante.

= n!





PERMUTACIONES CON REPETICION DE n ELEMENTOS

El número de permutaciones de nelementos repitiéndose uno de ellos n1 veces, otro, n2 veces, …, Viene dado por:



Por ejemplo, el número de maneras en que se puede distribuir 3 monedas de 25 pesos y 7 monedas de 5, entre 10 niños de forma que a cada uno de ellos le corresponda 1 sola moneda.
.
maneras

PERMUTACIONES CÍCLICAS.

El número de maneras en que se pueden ordenar n elementos diferentesalrededor de una circunferencia, es igual a ( n – 1 )!.
= (n –1)!
Por ejemplo, 10 personas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de ¿Cuántas maneras?

= ( 10 –1)! = 9! = 362880 maneras.




III COMBINACIONES:
La combinación es un conjunto de elementos, sin que se preste atención a su orden ni a su arreglo. Una combinación de r elementos escogidos en un conjunto den elementos es un subconjunto del conjunto de n elementos.
Por ejemplo, las combinaciones de las 3 letras a, b, c tomadas de 2 en 2 es ab, bc, ac, cualquiera de estas disposiciones es una combinación.
Obsérvese que ab y ba son una misma combinación (se prescinde del orden), de las letras a y b.

Su forma viene dada por:

Esta fórmula permite calcular el número de combinaciones de relementos que pueden seleccionarse de n elementos.
Por ejemplo, el número de saludos que pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una saluda una de las otras.



NUMERO TOTAL DE COMBINACIONES DE n ELEMENTOS.
El número total de combinaciones de n elementos distintos tomados de 1, 2, 3,..., n. Viene dado por:

C = 2n - 1.
Por ejemplo, una persona tiene en su bolsillouna moneda de 1 peso, otra de 5, otra de 50. El número total de formas en que puede sacar de su bolsillo cantidades diferentes de dinero es:

C = 23 - 1 = 8 – 1 = 7.

EJERCICIOS RESUELTOS.

1.- Hallar el número de formas en que se pueden colocar en fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros.

El primer lugar lo puede ocupar cualquiera de los 12 cuadros.El segundo uno cualquiera de los 11 restantes, el tercero uno cualquiera de los 10 y así sucesivamente:
Número de formas = número de variaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4.



2.- ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?

5! = 1•2•3•4•5 = 120

3.- ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar 7...