analisis combinatorio

Análisis combinatorio

!

Análisis
combinatorio

"Mi ensalada de frutas
es una combinación de
manzanas, uvas y
plátanos"

Es la rama de las
matemáticas que estudia de
cuántas formas se pueden
agrupar los objetos tomados
de un conjunto dado.

No importa en qué orden
pusimos las frutas, podría ser
"plátanos, uvas y manzanas"
o "uvas, manzanas y
plátanos", es la mismaensalada.

"La combinación de la
cerradura es 472"

Ahora sí importa el orden.
"724" no funcionaría, ni "247".
Tiene que ser exactamente
4-7-2.

PERMUTACION

Si el orden sí
importa.

Permutación
de
la
cerradura.

COMBINACION

Si el orden no
importa.

Combinación
de frutas.

Factorial de un número

!

El factorial de un número natural n se define como el producto de
losn primeros números naturales.




Consiste en multiplicar un entero por todos los enteros que lo
anteceden.



Se denota por escribe !n , y se lee "n factorial".

Por definición el factorial de cero es uno, esto es: 0!

Ejemplos.

1.

Permutaciones sin repetición

!

Son las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos
los elementos de un grupo.




Esdecir, son todos los arreglos de elementos en donde interesa el
lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicha agrupación.

Ejemplo
Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los
números 1,2,3.
Hay 6 posibles agrupaciones:

Las permutaciones se representan a través de la expresión:

Representa las permutaciones de n elementos tomando todos loselementos, entonces el número de permutaciones está dado por:

Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los
números 1,2,3.

Ejemplo
¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de
la palabra TROLEBUS?


¿Cuántas comenzarán con T y terminarán con S?

La palabra TROLEBUS tiene ocho letras:

T_ _ _ _ _ _ S, entonces se tienen seis espacios disponibles:Permutaciones con repetición

!

Son permutaciones de n elementos, en los que uno de ellos se repite
x1 veces, otro x2 veces y así sucesivamente hasta uno que se repite
xk veces. Se denotan por medio de:



Se calculan por medio de:




Es decir, son todos los arreglos de elementos en donde interesa el
lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dichaagrupación.

Consideraciones importantes

• Para formar un grupo se toman todos los
elementos, no hay que seleccionar unos pocos.

• Hay que tener en cuenta el orden en que se
colocan los elementos. Si se altera el orden, se
tiene un grupo distinto.

• Hay repetición de los elementos dentro de un
mismo grupo

Ejemplo
Calcular las permutaciones de cinco elementos, en los que
uno de ellosse repite en dos ocasiones y otro se repite en
tres ocasiones.

Ejemplo
Calcular las permutaciones de cinco elementos, en los que
uno de ellos se repite en dos ocasiones y otro se repite en
tres ocasiones.

Combinaciones sin repetición

!




Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m
se definen como las distintas agrupaciones formadas con m
elementosdistintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que se
dispone, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en
algún elemento.





No influye el orden de colocación de sus elementos.




Se denotan por:

o
El número de combinaciones que se pueden construir está dado por:

Ejemplo
Expresar todas las combinaciones sin repetición posibles del
conjunto A.A = {a,b,c,d }

De un elemento: Si se tiene un conjunto de cuatro
elementos y se quiere hacer grupos de uno,
únicamente se pueden hacer cuatro grupos:

a, b,c,d.
De dos elementos. A diferencia de las variaciones, si
ahora se cambia de orden los elementos de un grupo,
se obtiene el mismo grupo, por lo que para añadir el
segundo elemento sólo se puede añadir todos los
elementos...