analisis combinatorio

ANALISIS   COMBINATORIO 
 

Orientado al estudio de las probabilidades, el análisis combinatorio o análisis del numero de formas
en las que pueden presentarse los resultados de un proceso, ayuda a cuantificar la probabilidad de
que ocurra un resultado en particular.
El análisis combinatorio tiene como elementos fundamentales las permutaciones y las
combinaciones. Estos elementos seestudian en este capitulo.
PERMUTACIONES
Una permutación es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos y, en la que el orden de
aparición es muy importante, por ejemplo: los dígitos 2, 5 y 8 pueden formar los números 258, 285, 528, 582,
825 y 852. Cada uno de ellos es una permutación de los dígitos 2, 5 y 8, y refleja valores muy diferentes
entre si. Lo mismo puede decirse de lasletras A, V y E: AVE, EVA y VEA son palabras diferentes.

La fórmula general de las permutaciones es la siguiente:
_____________________
Permutaciones de
n objetos
tomados de r en r
______________________

=

nPr

n!
_______________________

=

(n - r )

n

es el número total de objetos o eventos

r

!

es el número de objetos que se desea considerar
(n puede sercualquier valor entero positivo;
r puede ser cualquier valor entero positivo desde 1 hasta n)

PERMUTAR ALGUNOS OBJETOS, DE TODOS DIFERENTES:
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse n objetos diferentes cuando se toman algunos de
éstos (r), es el número de permutaciones, tal como se ejemplifica a continuación:

EJERCICIOS
 En una caja hay cuatro canicas (azul, negra, roja yverde)
Si se extraen de la caja dos de ellas ¿en qué orden pueden aparecer?
SOLUCION
 La primera canica extraída (sujeto activo) puede ser cualquiera de las 4 (opciones).
La segunda canica puede ser cualquiera de las tres (opciones) restantes.
Esto puede
representar gráficamente de la siguiente manera:
Primera canica

Segunda canica

Orden

Azul

Negra
Roja
Verde

AN
AR
AVNegra

Azul
Roja
Verde

NA
NR
NV

Roja

Azul
Negra
Verde

RA
RN
RV

Verde

Azul
Negra
Roja

VA
VN
VR

2


Si se aplica la fórmula para calcular las permutaciones:

______________________
Permutaciones de
n objetos
tomados de r en r
______________________

=

nPr

n!
_______________________

=

(n - r )

4!
________________ =
(4–2) !Permutaciones =

24
_________
2

=

!

12

EJERCICIO:
 La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) de una asociación va elegirse de entre cinco
candidatos, identificados con las letras A, B, C, D y E. Suponga que cualquiera de ellos se apto para
cualquier puesto y determine el número de formas diferentes ñeque puede quedar integrada la mesa
directiva.
SOLUCIÓN:


El primerpuesto puede ser ocupado por cualquiera de las cinco personas; el segundo puesto puede ser
ocupado por cualquiera de las tres personas restantes, por lo que el número de formas diferentes será:

Permutaciones = 5 * 4 * 3 = 60
Este resultado puede obtenerse por medio de la fórmula de las permutaciones, como se
presenta a continuación:

______________________
Permutaciones de
n objetostomados de r en r
______________________

=

nPr

n!
= ______________
(n - r )

!

5!
= ___________ = 60
(5 - 3) !

Observe que la mesa directiva formada por las personas A, B, y C es diferente de la mesa integrada por las
personas A, C y B; B, A y C; B, C y A; C, A y B;
o C, B, y A.

Verifique el cálculo de las siguientes permutaciones:
6P4

=

25P11
20 000P 100

=
=360
1.7792 E14
9.8931 E429

PERMUTAR TODOS LOS OBJETOS, DE TODOS DIFERENTES
El número de formas diferentes en que pueden ordenarse n objetos diferentes cuando se toman de
uno en uno es el factorial de n (n !), tal como se representa a continuación. Observe que n ! crece
rápidamente, por ejemplo, si n es igual a 15, su factorial es 1 307 674 368 000.
EJERCICIO:


En una caja hay cuatro...