Analisis cualitativo y cuantitativo por elementos finitos de la ecuacion de poisson

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matem´tica a ´ SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA I

An´lisis cualitativo y cuantitativo con Elementos a Finitos del Problema de Poisson Alumno: Reyes Villafuerte Ra´l u C´digo : 20050282D o Asesora: Mg. Irla Mantilla N. 2010-II LIMA-PERU Nota:

Agradecimientos
Debo agradecer de manera especial y sinceraa la profesora Irla Mantilla Nu˜ez por n su importante aporte en la realizaci´n de este trabajo, destacar por encima de todo o su disponibilidad, paciencia y compromiso, as´ tambi´n agradecer por permitirme el ı e uso del Laboratorio de Simulaci´n e Investigaci´n Num´rica. o o e

Resumen El presente trabajo esta orientado a resolver ecuaciones en derivadas parciales de tipo el´ ıptico medianteel M´todo de Elementos Finitos, con la finalidad de evitar e el c´lculo de manera estricta y exacta que muchas veces suele ser muy tedioso, a realizando un c´lculo aproximado y muchas veces r´pido. Para esto es necesario a a llevar un problema el´ ıptico de su forma cl´sica a su forma d´bil o variacional, a e definiendo adecuadamente los espacios en los que se hallar´ la soluci´n, para esto a orecordaremos algunos aspectos b´sicos del An´lisis Funcional; luego se verificaran a a ciertas condiciones que aseguren la existencia y unicidad de las soluci´n de eso tos problemas variacionales, mediante el Teorema de Lax-Milgram y finalmente se definir´n los espacios de elementos finitos para la soluci´n aproximada de estos proba o lemas, haciendo uso del MATLAB como una herramienta para el c´lculo ygr´ficas a a de las soluciones. El trabajo adem´s se centrar´ en mostrar la existencia y unicidad del Problema a a de Poisson con condiciones de frontera de tipo Neumann, en un cierto subespacio, definido con la finalidad de que se cumplan las hip´tesis del Teorema de Laxo Milgram.

´ Indice general
Introducci´n o 1. Preliminares 1.1. Definiciones B´sicas . a p 1.2. Espacios L (Ω) . . . 1.3.Distribuciones . . . . 1.4. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 4 5 7

2. Formulaci´n D´bil de Problemas con Valor de Frontera o e 2.1. Formulaci´n D´bil para un Problema Unidimensional . . . . .o e 2.2. Formulaci´n D´bil del Problema de Poisson con condiciones de o e tera de tipo Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Formulaci´n D´bil del Problema de Poisson con condiciones de o e tera de tipo Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Formulaci´n D´bil de un Problema de tipo Mixto . . . . . . . o e

10 . . . . 10 fron. . . . 11 fron. . . . 12 . . .. 13 . . . . 14 14 15 16 19

3. Existencia y unicidad de soluciones de Problemas Variacionales 3.1. Complemento Ortogonal y Proyecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Teorema de Representaci´n de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplicaciones del Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3.4.1. Existencia y unicidad del Problema de Poisson con condiciones de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Existencia y unicidad del Problema de Poisson con condiciones de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 20 . 21

4. M´todo de Elementos Finitos e 24 4.1. Elementos Finitos Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27 4.2. M´todo de Elementos Finitos con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 28 e 5. Conclusiones Bibliograf´ ıa 31 32

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Introducci´n o
El presente trabajo realiza un estudio del M´todo de Elementos Finitos para la rese oluci´n de ecuaciones en derivadas parciales, en particular se har´ el estudio para o a algunos problemas de tipo el´ ıptico conocidos. La idea del m´todo de los...