analisis cuantico

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En matemáticas, un espacio de Hilbert equipado (EHE) es una generalización de los espacios de Hilbert que permite ligar la teoría de distribuciones y los aspectoscuadrado-integrables del análisis funcional. Tales espacios fueron introducidos para estudiar la teoría espectral en sentido amplio y tienen amplia aplicación en mecánica cuántica.
…Motivación [editar]Puesto que una función como:

que es claramente un vector propio del operador diferencial:

en la recta real , no es de cuadrado integrable para la medida de Borel usual en . Claramente la funciónexponencial compleja pertenece al espacio de vectorial complejo (que no es un espacio de Hilbert) pero no pertenece al espacio de Hilbert (asociado a la medida de Borel).
Para poder definirpropiedades de ortogonalidad a la función exponencial compleja del ejemplo anterior, se requiere un marco que exceda los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert. Esto fue provisto por el aparatode distribuciones de Schwartz, y la teoría generalizada de la función propia fue desarrollada en los años 1950.
Introducción [editar]
El concepto del espacio equipado de Hilbert pone esta idea enmarco funcional-analítico abstracto. Formalmente, un espacio equipado de Hilbert consiste en el espacio de Hilbert H, junto con un subespacio Φ que lleva una topología más fina, para la cual lainclusión natural:

es continua. Se puede asumir que ese Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión del espacio dual H* en Φ*. El último, dual al Φ en su topología de la función deprueba, se realiza como un espacio de distribuciones o de funciones generalizadas de una cierta clase, y los funcionales lineales en el subespacio Φ del tipo:

para v en H se representan fielmentecomo distribuciones (porque asumimos Φ denso). Ahora aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H* con H. Por lo tanto la definición del espacio equipado de Hilbert es en...