Analisis de campos vectoriales

Introducción:
En este trabajo definiremos dos operaciones que se efectúan con los campos vectoriales, rotacional y divergencia, las cuales se asemejan mucho a la derivación, pero el rotacional genera un campo vectorial, mientras la otra genera un campo escalar. Se tratara de definir de la forma mejor comprensible cada una de ellas así como explicar cómo llevar a cabo cada una de las operacionesrelacionadas con ambas.
Rotación: Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.
El rotacional de un campo vectorial:
Es un campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campo
Es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en losalrededores de un punto.
Si RotF = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional.

Ilustración 1
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.
SiF= Mi+Nj+Pk es un campo vectorial en R3 y existen todas las derivadas parciales de M,N y P, entonces el rotacional de F es el campo vectorial en R3 definida por:
Rot F(x,y,z)= ∇ X F(x,y,z) = =dPdy -dMdzi-dPdx-dMdzj+dNdx-dMdyk
La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente ∇f como el resultado del operador diferencial ∇ que actúa sobre la función f. En estecontexto, se utiliza la siguiente forma determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.

El criterio establece que para un campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abierta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y solo si F es conservatorio.
Ejemplo 1:
Calculo del rotacional de un campo vectorial, hallar RotFpara el campo vectorial dado por:

LA DIVERGENCIA
Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Es un vector que indica en qué dirección las líneas de campo se encuentran más separadas entre sí. El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad. La divergencia puede ser alta aunque el valor del campo sea muy bajo en ese punto.
Una divergencia elevada indica que en esa zonael campo los vectores se están "abriendo". Una divergencia nula indica que en esa zona los vectores son paralelos. Y una divergencia menor a 0 significa que los vectores del campo se están cerrando.

Ilustración 3: Div<0
Ilustración 3: Div<0
Ilustración 2: Div>0

Ilustración 4: Div=0
Ilustración 4: Div=0

Si F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial en R3 y ∂M∂x, ∂N∂y,∂P∂z en tonces ladivergencia de F es la función de tres variables definida por:

∇·F(x.y,z) =∂∂xi+∂∂zj+∂∂yk·Mi+Nj+Pk = ∂M∂x+∂N∂y+∂P∂z .

Si div F=0, entonces se dice que F es divergencia nula.

Donde también es aplicable para dos variables:

La divergencia de F(x,y)= Mi+Nj es :
div F(x,y)= ∇·F(x.y) = ∂M∂x+∂N∂y.

Si F=Mi+Nj+Pk es un campo vectorial en R3 y M,N yP tienen derivadas parciales continuas desegundo orden, entonces la div rot F=0.

Demostración:
Usando las definiciones de la divergencia y rotacional, tenemos

= ∂∂x ∂R∂y-∂Q∂z + ∂∂y ∂P∂z - ∂R∂x + ∂∂z∂Q∂x - ∂P∂y

=0

Ejemplo#2
Hallar la divergencia en (2,1,-1) para el campo vectorial

Aplicaciones
* Divergencia: Se puede relacionar como la forma que el fluido fluye hacia o en dirección opuesta.
* Rotacional: Serelaciona con las propiedades de rotación de un fluido.
Ejemplos de campos de aplicación
Ejemplos de campos de aplicación Flujos de campos magnéticos

Flujo de corrientes de aire

Problema #1
Una sección transversal del campo magnético de la tierra puede representarse como un campo vectorial en el cual el centro de la Tierra se localiza en el origen y el eje y positivo...