analisis de deformacion

Análisis General de Deformaciones
En este capítulo se estudian las deformaciones de un cuerpo en el entorno de un punto. Se supone
que los desplazamientos y giros del sólido son pequeños y que las deformaciones son pequeñas. En
la primera parte se evalúan deformaciones específicas longitudinales, angulares y volumétricas,
y al relacionarlas con el campo de desplazamientos surge la necesidad dedefinir un tensor de
deformaciones. En la segunda parte se investiga ese tensor; se demuestra que es un tensor de
segundo orden; se encuentran sus valores y direcciones principales; y sus componentes esférica y
desviadora. En la tercera parte se estudia la rotación de una fibra.

3.1.

Posición y desplazamiento de un punto. Medidas de deformación

Hipótesis:
Partimos de un cuerpo en unestado inicial libre de deformaciones y del cual conocemos su
geometría. Este cuerpo B cuyos puntos materiales designaremos como P que referidos a un sistema
coordenado cartesiano estarán definidos por el vector X
XT = (X1 , X2 , X3 )

(3.1)

Denominaremos al cuerpo B y a las posición de los puntos en esta configuración indeformada
como la configuración de referencia. Debido a alguna acciónexterna el cuerpo B cambiará de
forma y ocupará una forma distinta que denominaremos con b. Los puntos materiales P pasarán
a ocupar posiciones diferentes que denotaremos por el vector x
xT = (x1 , x2 , x3 )

(3.2)

Resulta inmediato introducir los desplazamientos u como la diferencia entre la posición final y
la inicial por lo cual es posible escribir
x(X1 , X2 , X3 )= X + u (X)

(3.3)sencillamente esto expresa que la nueva posición x de un punto material P está dada por la
posición original X más los desplazamientos u que sufre en el proceso de deformación. El campo
de desplazamientos u debe ser continuo para asegurar que el cuerpo deformado b sea continuo es
decir que no aparezcan brechas o solapamientos.
Objetivo
Conocido entonces el campo de desplazamientos, es decirconocidos la posición original y deformada de cada punto material P que conforman el cuerpo B interesa poder medir las deformaciones
que ocurren en el entorno de un punto cualquiera. Básicamente las deformaciones que nos interesa
conocer son:
Cambio de volumen
Cambio de la longitud de una fibra, originalmente en una dirección cualquiera ν
Cambio de ángulo entre dos fibras, originalmente en dosdirecciones cualesquiera ν y µ (en
particular nos interesarán dos fibras que originalmente sean ortogonales, es decir µ · ν =0
Metodología
Para medir deformaciones en el entorno de un punto mediremos longitudes, ángulos y volúmenes
antes y despues del movimiento. La comparación adecuada entre magnitudes originales y finales
permite evaluar deformaciones
1

3.1.1. Medidas en la geometríaindeformada
Sea entonces un punto cualquiera A en el entorno del cual nos interesa evaluar las deformaciones
que se han producido. Consideremos tres puntos B, C, y D suficientemente cercanos al punto A,
que junto con él definan un hexaedro de caras ortogonales (ver figura 1). Como caso particular
podría ser un hexaedro elemental de caras paralelas a los planos cartesianos a partir de incrementosinfinitesimales de las coordenadas
dXT = (dX1 , dX2 , dX3 )

(3.4)

Por ahora nos mantendremos en la hipótesis de que las caras del hexaedro no coinciden con los
planos cartesianos

ρ
D

ν

B

A

Z

C

Y
X

µ
Figura 1 Hexaedro elemental

Denominaremos con ν a la dirección de la fibra orientada del punto A al punto B. Con µ
denominaremos a la dirección de la fibra orientada delpunto A al punto C que por lo pedido al
hexaedro es ortogonal a ν.
Llamando al vector orientado de A a B
∆XAB = XB − XA

(3.5)

y a la longitud de dicho vector
∆SAB =

(∆XAB · ∆XAB )

donde se ha introducido la noción habitual de distancia en el espacio euclideo. Con lo cual tenemos
la primera magnitud, una longitud en este caso, medida sobre la geometría indeformada de una
fibra...