Analisis De Estabilidad
Páginas: 10 (2433 palabras)
Publicado: 27 de mayo de 2012
Unidad 2: Análisis de estabilidad
Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cuál fuese su estado inicial.
La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador.
La respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es:
Normalmente, la estabilidad oinestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente de la entrada. Es un problema del sistema.
Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuacióncaracterística (1 + Gc Gp Gf Gm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir, es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación (GOL).
Las raíces de la ecuación característica son αi, i = 1, , n. Por tanto, una vez realiza ladescomposición en fracciones simples:
Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real:
Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para todo i:
El valor de γ no influye en la salida del sistema desde el punto de vista de la estabilidad, ya que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia dela respuesta.
En cambio, si β es positivo, aparece un problema de estabilidad ya que la respuesta aumentaría constantemente con el tiempo. Por tanto, para que la salida del sistema sea estable todas las partes reales de las raíces de la ecuación característica deben ser negativas, deben estar situadas en el semiplano real negativo. En el caso de que alguna no lo fuese:
Con esta información esposible diseñar técnicas que permitan seleccionar las constantes del controlador garantizando la estabilidad del sistema.
2.1 Criterio de Routh Hurwitz
El método de Routh-Hurwitz permite comprobar de una manera rápida y sencilla si alguna de las partes reales de las raíces de la ecuación característica es positiva sin necesidad de tener que encontrar las raíces.
Operando la ecuacióncaracterística se obtiene:
1 + Gc Gp Gf Gm ≡ a0 sn+ a1 sn−1+… + an−1 s + an = 0
donde a0 debe ser positivo.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es:
1. Condición necesaria pero no suficiente: Todos los coeficientes a0, a1, , an de la ecuación característica deben ser positivos para que el sistema sea estable. Si alguno de los coeficientes es negativo, al menos una de las raíces tendrá laparte real positiva.
2. Condición necesaria y suficiente: Se construye la matriz de Routh:
El sistema será estable si todos los términos de la primera columna de la matriz (a0, a1, A1, B1, C1, , W1) son positivos. Si alguno de estos elementos es negativo el sistema será inestable. Por cada cambio de signo habrá una raíz con la parte real positiva.
El criterio de estabilidad de Routhpresenta algunas limitaciones. No puede trata sistemas con retrasos (tiempos muertos) o no lineales. Sólo da información de si un sistema es estable o inestable, no da información de si un sistema estable está cerca o lejos de la inestabilidad. Otra limitación es la necesidad de tener que expresar la ecuación característica como un polinomio en s, esto puede ser bastante complicado en sistemascomplejos.
Para encontrar qué valores de las constantes del controlador están situados en el límite de estabilidad se debe resolver la siguiente ecuación:
W1 s2+W2 = 0
De esta manera se puede determinar un par de raíces de la ecuación característica con la parte real nula, es decir, situadas sobre el eje imaginario. Lógicamente W1 y W2 dependen de los parámetros del controlador.
2.2...
Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cuál fuese su estado inicial.
La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador.
La respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es:
Normalmente, la estabilidad oinestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente de la entrada. Es un problema del sistema.
Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuacióncaracterística (1 + Gc Gp Gf Gm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir, es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación (GOL).
Las raíces de la ecuación característica son αi, i = 1, , n. Por tanto, una vez realiza ladescomposición en fracciones simples:
Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real:
Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para todo i:
El valor de γ no influye en la salida del sistema desde el punto de vista de la estabilidad, ya que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia dela respuesta.
En cambio, si β es positivo, aparece un problema de estabilidad ya que la respuesta aumentaría constantemente con el tiempo. Por tanto, para que la salida del sistema sea estable todas las partes reales de las raíces de la ecuación característica deben ser negativas, deben estar situadas en el semiplano real negativo. En el caso de que alguna no lo fuese:
Con esta información esposible diseñar técnicas que permitan seleccionar las constantes del controlador garantizando la estabilidad del sistema.
2.1 Criterio de Routh Hurwitz
El método de Routh-Hurwitz permite comprobar de una manera rápida y sencilla si alguna de las partes reales de las raíces de la ecuación característica es positiva sin necesidad de tener que encontrar las raíces.
Operando la ecuacióncaracterística se obtiene:
1 + Gc Gp Gf Gm ≡ a0 sn+ a1 sn−1+… + an−1 s + an = 0
donde a0 debe ser positivo.
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es:
1. Condición necesaria pero no suficiente: Todos los coeficientes a0, a1, , an de la ecuación característica deben ser positivos para que el sistema sea estable. Si alguno de los coeficientes es negativo, al menos una de las raíces tendrá laparte real positiva.
2. Condición necesaria y suficiente: Se construye la matriz de Routh:
El sistema será estable si todos los términos de la primera columna de la matriz (a0, a1, A1, B1, C1, , W1) son positivos. Si alguno de estos elementos es negativo el sistema será inestable. Por cada cambio de signo habrá una raíz con la parte real positiva.
El criterio de estabilidad de Routhpresenta algunas limitaciones. No puede trata sistemas con retrasos (tiempos muertos) o no lineales. Sólo da información de si un sistema es estable o inestable, no da información de si un sistema estable está cerca o lejos de la inestabilidad. Otra limitación es la necesidad de tener que expresar la ecuación característica como un polinomio en s, esto puede ser bastante complicado en sistemascomplejos.
Para encontrar qué valores de las constantes del controlador están situados en el límite de estabilidad se debe resolver la siguiente ecuación:
W1 s2+W2 = 0
De esta manera se puede determinar un par de raíces de la ecuación característica con la parte real nula, es decir, situadas sobre el eje imaginario. Lógicamente W1 y W2 dependen de los parámetros del controlador.
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