analisis de fourier APLICACINES

Series de Fourier
Aplicación: Análisis de Señales
Juan E. Dombald
Estudiante de Ingeniería Electrónica
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
Juane_cen@hotmail.com

Agosto 2011

Resumen: En este informe se mostrará como las series de Fourier permiten obtener un desarrollo en series de senos y
coseno, para facilitar el estudio de las diversas señales,aplicación utilizada en muchas ingenierías. Se describirán las
características principales de las señales y posteriormente se desarrollarán las ecuaciones que representan las mismas.
Palabras Claves: Señales, Periodicidad, Series de Fourier.

I.

INTRODUCCION

El análisis de Fourier, aparte de ser una rama de las matemáticas de gran interés a la hora de tratar
funciones complejas, de variable real ocompleja, tiene aplicaciones de gran importancia en múltiples
ingenieras. En este trabajo se tratará la contribución de Fourier a la teoría de señales.
En 1807 Joseph Fourier estableció, en sus trabajos presentados en Francia, que cualquier señal periódica
podía ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos, relacionadas
armónicamente, pero sus argumentos fueronimprecisos, por lo que en 1829 Dirichlet proporcionó las
condiciones precisas para que una señal periódica pudiera ser representada por una serie de Fourier.
Joseph logro, además, representar señales no periódicas, no como suma de sinusoides relacionadas
armónicamente, sino como integrales de sinusoides, no relacionadas armónicamente. Las series de Fourier
son una de las herramientas más poderosas para elanálisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el
Tiempo).

II. SERIES DE FOURIER APLICADA A SEÑALES
Una señal es una función que representa las variaciones en el tiempo de una variable física. Puede
clasificarse en términos de la forma de variación del tiempo, del contenido de energía o potencia, o de la
periodicidad o no de la señal.
Teniendo en cuenta la variación del tiempo lasseñales pueden ser de tiempo continuo, que son aquellas
en las cuales la variable tiempo se representa como una variable real

x(t) ,

−∞ < t < ∞ .

O de tiempo discreto, que son aquellas en las cuales la variable tiempo se representa como una variable
entera

x [ n] ,

n = 0, ± 1, ± 2,… .

1

Una señal se dice que es de energía si su E es finita, lo que implica que su potencia sea cero. Por ejemplo,los pulsos limitados en el tiempo.
γ

E = lim ∫ x (t ) dt.
γ →∞

2

−γ

Una señal se dice que es de potencia si su potencia es finita, lo que implica que su energía sea infinita. Un
ejemplo de este tipo de señales lo encontramos en las señales periódicas.

1
P = lim
γ →∞ 2γ

γ

∫γ

2

x(t ) dt.

−

Las señales periódicas son aquellas que para un T0 > 0 dado, cumplen con

x(t + T0 ) = x(t) , donde T0es el periodo de la señal.
Las señales aperiódicas, que son aquellas que no cumplen la característica de periodicidad.

Teniendo en cuenta la periodicidad de las señales, Fourier pudo asegurar que toda señal periódica se
puede expresar en términos de una serie de senos y cosenos, de la forma

x(t) ≈

∞
a0 ∞
+ ∑ a n cos ( nw 0 t ) + ∑ b n sen ( nw 0 t ) .
2 n=1
n =1

(1)

Esta serie es conocidacomo Serie Trigonométrica de Fourier, donde a los coeficientes a 0 , a n y b n son los
Coeficientes Trigonométricos de Fourier, mientras que w 0 es la frecuencia fundamental de la señal. Estos
coeficientes trigonométricos se definen como

a0 =

1
T0

∫

x(t )dt

an =

2
T0

∫

x(t ) cos(nω0t )dt ,

bn =

2
T0

∫

x (t ) sen( nω0t )dt

T0

T0

T0

donde

ω0 =

2π
y
T0

∫

T0

es una integral a lolargo de un periodo.

Además las señales periódicas pueden expresarse en términos de una serie de exponenciales complejos,
de la forma
+∞

x(t) ≈ ∑ cn ei nw 0t .

(2)

−∞

2

cn=

=
T

x∫T
00
T

et()

∫(xt
0

Dicha serie es denominada Serie Exponencial de Fourier, donde los coeficientes cn son los Coeficientes
Exponenciales de Fourier y

ω0 la frecuencia fundamental de la señal. Estos pueden...